Игры → .01 Симметричные стратегии

Пусть второй применяет симметричную стратегию относительно центра многоугольника, то есть проводит отрезки симметричные отрезкам первого. Тогда у второго всегда есть ход, так как после хода второго многоугольник всегда симметричен, а отрезок через центр нельзя провести (так как точки разного цвета). Следовательно, второй не проиграет, а так как игра конечна, то и выиграет.

Заметим, что , то есть Петя может делить только на 5 или , а Вася — только на 2, , или . То есть Петя проигрывает, когда заканчиваются все 6 пятерок, а Вася — когда заканчиваются все 6 двоек. Причем Петя может забирать только свои пятерки, а Вася может забирать как двойки, так и пятерки. Значит, Вася может быстрее приблизить Петю к проигрышу, когда будет забирать его пятерки. Действительно, если каждым ходом Вася будет делить число на 10 (пока делится, то есть пока еще есть пятерки), то не более, чем через 3 хода Пети и 3 хода Васи пятерок не останется (но двоек будет хотя бы 3, так как забирает их только Вася), значит, Петя не сможет походить, а Вася выиграет.

Пусть первым ходом первый вычеркнет чисел от до Тогда остальные числа разбиваются на пары с разностью После каждого хода второго игрока, первый может вычеркнуть числа таким образом, чтобы в каждой паре было вычеркнуто либо оба числа, либо ни одного (довычеркивает числа из неполных пар — их нечетное количество, не больше и вычеркивает еще несколько пар полностью). Таким образом, в конце останется пара чисел, разность которых равна

Поделим все карточки на пары: . Все карточки так разобьются, так как 2000 — не квадрат числа. Будем играть за второго и брать каждым ходом парную карточку к карточке первого. Если вдруг у нас оказались два числа и такие, что кратно , то у нашего соперника уже было два числа и , причем кратно , так как — целое, так как кратно , то есть первый бы уже проиграл. Значит, у нас всегда есть ход, а так как игра конечна, то мы и выиграем.

Предъявим выигрышную стратегию за первого игрока. Первым ходом он снимает центральную шашку. После этого, на каждый ход второго он отвечает симметрично — делает симметричный относительно центральной клетки ход. Таким образом после хода первого игрока доска будет симметрична сама себе относительно центральной клетки.

Ход согласно такой стратегии всегда возможен: раз мы ходили симметрично до этого, то до хода соперника позиция была симметрична. Его ход никак не может помешать такому же ходу симметричному относительно центральной клетки (так как никак не затрагивает центральную клетку), а значит раз он смог снять шашки, то и мы сможем.

Получается, что у нас всегда есть ответный ход согласно стратегии. При этом игра, очевидно, когда-то закончится. А раз первый игрок не проиграет, то не сможет сходить и, соответственно, проиграет, второй игрок

Первый ход сделаем на одну клетку назад, возможны два варианта, если второй игрок ходит назад, то мы разбиваем первые клеток на пары соседних и будем ходить во вторую клетку пары. Если же второй игрок сходил направо на две клетки, то разбиваем последние клеток на пары соседних и действуем аналогично.

Будем играть за Серёжу. Всегда будем брать число, дающее тот же остаток при делении на что и число, взятое Игорем на предыдущем шаге. Каждый остаток при делении на встречается ровно раз, поэтому мы всегда сможем сделать ход. Заметим, что сумма всех чисел от до делится на а две полученных суммы дают одинаковый остаток при делении на поэтому на самом деле они обе делятся на Значит, наша сумма будет составным числом.

Пусть первым ходом Асан выбирает треугольник с вершинами, имеющими координаты и Легко видеть, что внутрь этого треугольника уже ходить нельзя. Тогда остались две одинаковые фигуры, в которые можно ходить. Далее Асан будет повторять ходы Марата симметрично, поэтому он всегда сможет сходить, а следовательно, выиграет.

Пусть Аня возьмёт камень из второй кучки (число 1 является делителем числа 2021), то есть число камней станет равным. Дальше её стратегия очень проста — повторять ход Пети в другой кучке. Если Петя нашёл делитель числа и забрал камней из какой-то кучи, то Аня может забрать камней из другой кучки (в которой перед её ходом тоже будет камней), поскольку число является делителем текущего числа камней в кучке, откуда брал Петя. Раз игра когда-нибудь закончится, то Аня победит.

Приведём одну из возможных выигрышных стратегий для Пети. Он всё время будет делать ходы, параллельные одной из диагоналей доски (назовём её главной).

Первым ходом Петя закрасит все клетки главной диагонали. После этого доска разбивается на две одинаковых “лесенки” (см. рис. ). Мысленно сделаем каждую лесенку симметричной относительно вертикальной прямой, сдвинув в ней каждый горизонтальный ряд, кроме первого, на полклетки относительно предыдущего ряда (см. рис. ).

В результате сдвигов и бывшие вертикали, и бывшие диагонали, параллельные главной, стали наклонными рядами. При этом “вертикали” одной лесенки симметричны “диагоналям” другой. Это значит, что на каждый ход Васи Петя может ответить симметричным ходом в другую лесенку (два таких ответа показаны на рис. ).

Тогда после каждого Петиного хода ситуация на «сдвинутой» картинке будет оставаться симметричной, а значит, Петя всегда сможет сходит согласно описанной стратегии. Так как игра закончится (не более чем за ходов), в некоторый момент Васе будет некуда ходить, и Петя выиграет.

Пусть первым ходом Карлсон выедает квадрат посередине шоколадки, чтобы вертикальная ось симметрии квадрата и ось симметрии прямоугольника совпадали. После этого хода ось симметрии прямоугольника делит остаток шоколадки на две одинаковые части. При этом никакой последующий ход не может пересечь ось симметрии, потому что куски должны быть квадратными.

Теперь на каждый ход Малыша Карлсон отвечает симметричным ходом. В итоге, Карлсон сделает последний ход в игре и победит.

Приведем одну из возможных выигрышных стратегий Пети. Первым ходом разложим данную кучу на три кучи, в которых камней. Заметим, что теперь вторую кучу (обозначим ее в которой два камня, делить нельзя. Далее будем ходить симметрично относительно этой второй кучи: то есть повторять зеркально ход Васи в другую сторону относительно Если у Васи был ход, то и у Пети ход есть. При этом игра когда-то закончится, так как количество куч всегда увеличивается на две, а больше оно стать не может. Значит, Петя победит.

Разобьем числа от до на групшы: есть три числа, которые делятся на три числа, которые делятся на но не делятся на нечетных чисел, не делящихся на и четных чисел, не делящихся на Будем играть за Лену. Разобьем все числа в группах, кроме одного, на пары. Сами группы также разобьем на пары, и Если Катя ходит в новую группу, из которой девочки числа еще не стирали, то Лена стирает число из парной группы. Если же Катя ходит в группу, из которой числа уже стирали, то Лена стирает число из той же группы. Заметим, что ни из какой группы Катя не сможет забрать последнее число. Это значит, что если до хода Кати произведение оставшихся чисел делилось на то и после ее хода оно все еще делится на Поэтому Катя не может победить, значит, побеждает Лена, так как последний ход также делает она.

Будем на месте Васи красить линию, симметричную той, что только что закрасил Петя. Так как до очередного хода Пети картинка была симметричной, то, раз Петя закрасил хотя бы одну новую клетку, то и Вася хотя бы одну новую клетку закрасил. Значит, у Васи всегда есть ход, а так как игра рано или поздно закончится, именно он сделает последний ход.

Пусть вырезана угловая клетка, находящаяся в первой горизонтали и первой вертикали. Не более чем двумя первыми ходами второй может добиться, чтобы в первой горизонтали и первой вертикали стояло по ладье. После этого получается игра с постановкой не бьющих друг друга ладей на доску получающейся из исходной доски удалением первых горизонтали и вертикали, а также горизонтали, где стоит ладья с первой вертикали, и вертикали, где стоит ладья с первой горизонтали. А это, очевидно, игра-шутка, которая заканчивается, когда на доске ладей. Итак, при такой игре второго в игре будет сделано ровно ходов, и второй победит.

Заметим, что если в какой-то момент игры игрок во время своего хода может взять от до камней, то он этим ходом может выиграть, взяв просто все оставшиеся камни. Заметим, что такая возможность взять от до камней появляется именно у второго игрока (на его -м ходу). Осталось ему сделать так, чтобы он не проиграл в предыдущие ходы. Так, играя за второго, будем каждым ходом брать камень. Тогда после каждой пары ходов первого и второго (когда второй еще получил возможность брать от до камней) будет оставаться хотя бы камней, то есть первый не может забрать все оставшиеся. Перед ходом, когда второй сможет взять до камней, первый может взять от до камней, что меньше оставшегося количества, то есть первый точно не победит. Итак, -м своим ходом второй игрок забирает все оставшиеся и выигрывает.

Первым ходом Петя может, например, стереть все цифры Оставшиеся группы одинаковых цифр можно разбить на пары:

После этого Петя (относительно средней черты) повторяет ходы Васи: стирает цифры “парные” ходу Васи и в таком же количестве.

Разобьем крестики и нолики на пары (объединим в пары рядом стоящие крестики и нолики). Тогда если сходивший поменял крестик и нолик из разных пар местами, то мы поменяем парные к ним крестик и нолик местами.

Важно, что пары при этом у нас сохранятся, поэтому любая пара либо не менялась вообще, либо в ней поменялись и крестик и нолик, поэтому ход у нас будет. Если же внутри пары меняют крестик и нолик, то мы возьмем другую пару и поменяем в ней крестик и нолик. Но вот осталась ли у нас пара или нет уже зависит от . Если четно, то описанной стратегией мы будем играть за второго, так как тогда после хода второго оставшихся пар всегда будет четно, а значит у второго всегда будет ход. Если нечетно, то этой же стратегией играем за первого игрока, только первым ходом меняем крестик и нолик из одной пары, тогда пар останется четно, а дальше после хода первого пар всегда будет четно и у первого всегда будет ход.

Осталось понять, почему у нас не образовалось три крестика или три нолика подряд при такой стратегии (при любом ). Тут надо заметить, что мы ходим так, что пары крестик и нолик остаются в своих же парах (после хода того, за которого мы играем), но если бы у нас образовались три крестика или три нолика подряд, это бы означало, что нашлась бы пара, в которой два крестика или два нолика, но такого быть не могло. Таким образом, стратегия работает.

Первый способ. Сначала попробуем применить уже известную нам симметричную стратегию для второго игрока. Разобьем все числа на пары: 1 — 1000, 2 — 999, ..., 500 — 501 (то есть пары чисел, которые в сумме дают 1001). Если первый игрок стер число , то второй стирает парное ему число — . То есть после хода второго в каждой паре числа либо оба стерты, либо оба остались. Следовательно, два последних числа будут обязательно из одной пары, то есть их сумма будет ровно , что не делится на 3. Таким образом второй всегда побеждает.

Второй способ. Теперь попробуем порешать эту задачу другим методом. Проанализируем момент, когда какой-то игрок побеждает или проигрывает, то есть последний ход. Так как последний ход четный, то его совершает именно второй игрок. Тогда перед последним ходом второго у нас осталось 3 числа. Какое число нужно выбрать в этот момент второму, чтобы он победил? Ему нужно оставить числа, сумма которых не кратна трем. Обозначим остатки по модулю 3 этих трех чисел за .

Если среди них есть хотя бы два различных (пусть и ), то хотя бы одно из чисел и не кратно трем (если оба кратны трем, то и совпадают с остатком числа ). Значит, у второго точно есть ход, после которого он побеждает.

Значит, второй может проиграть, только если все три остатка равны, причем равны нулю (иначе сумма любых двух чисел не кратна трем, то есть второй обязательно побеждает). Тогда второму нужно не допустить такую ситуацию. Что нужно сделать, чтобы в конце точно не осталось трех нулей? Давайте каждым ходом второго игрока стирать числа, кратные трем (если такие еще есть). Тогда к последнему ходу второго вовсе не останется чисел, кратных трем (так как их сильно меньше половины всех чисел). То есть ситуации с тремя нулями точно не будет, и значит, второй победит.