Геометрические неравенства → .01 Неравенство треугольника в планике
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан выпуклый четырёхугольник 
где 
. Пусть 
— середина 
. Докажите, что 
Источники:
Первое решение.
Отразим точку 
относительно прямой 
. Получим точку 
.
Заметим, что 
— средняя линия треугольника 
. Значит, 
. При этом из симметрии 
. Тогда
требуемое неравенство эквивалентно следующему: 
. А это в точности неравенство треугольника для
.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение.
Отметим 
— середину 
— и проведём 
.
как медиана треугольника 
, проведённая к гипотенузе. При этом 
как средняя линия треугольника 
.
Из неравенства треугольника для 
получаем 
, или, что то же самое, 
. Требуемое получается из
этого неравенства удвоением обеих частей.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Замечание.
Можно заметить, что эти решения одинаковы с точностью до гомотетии с центром в точке 
и коэффициентом
2.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В трапеции 
боковые стороны 
и 
равны основанию 
Точки 
и 
— середины отрезков 
и 
соответственно. Докажите, что 
Подсказка 1
Попробуйте собрать отрезки CN, NM и DM в треугольник, и задача будет решена. Для этого поищите равные отрезки, соберите информацию о рисунке.
Подсказка 2:
Чтобы собрать отрезки в треугольник, у некоторых треугольников стоит рассмотреть среднюю линию.
Пусть 
— середина 
Тогда 
Треугольники 
и 
равны, так как 
и
(так как трапеция 
— равнобедренная). Следовательно, 
По неравенству треугольника
ЧТД.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В равнобедренном треугольнике 
на основании 
взята точка 
а на боковой стороне 
— точки 
и 
причем
и отрезок 
параллелен стороне 
Докажите, что 
Источники:
Подсказка 1
Соберите информацию про рисунок, поищите ещë какие-то равнобедренные треугольники, кроме ABC.
Подсказка 2
Вообще требуемое неравенство должно получиться из неравенства треугольника. Чтобы понять, из какого именно, рассмотрите среднюю линию треугольника EAD.
Первое решение.
Так как 
то 
и 
Обозначим через 
середину отрезка 
Тогда 
—
средняя линия в треугольнике 
и 
По неравенству треугольника:
Второе решение.
поскольку 
поэтому треугольник 
тоже равнобедренный и 
Но
как медиана в треугольнике 
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
— длины биссектрис углов 
и 
треугольника 
а 
— длины соответствующих медиан. Докажите,
что
Подсказка 1
Пусть a ≤ b ≤ c — стороны треугольника. Всякий отрезок внутри треугольника не превосходит длины его наибольшей стороны. Как тогда можно оценить выражение снизу?
Подсказка 2
Верно! Это выражение не меньше отношения суммы длин биссектрис, проведенных к сторонам a и b, к c. Осталось доказать, что сумма длин этих биссектрис превышает c. Можно ли для этого применить неравенство треугольника?
Подсказка 3
Из треугольника AIB имеем AI + IB > AB = c. Как тогда доказать требуемое неравенство?
Пусть 
и 
— длины сторон треугольника 
Без ограничения общности можно считать, что 
Пусть 
— точка
пересечения биссектрис треугольника 
Тогда
Здесь второе неравенство выполнено, поскольку любой отрезок внутри треугольника (в частности, любая медиана) не превосходит
наибольшей стороны. Третье неравенство выполнено, поскольку 
и 
Последнее неравенство выполнено в силу неравенства
треугольника для треугольника 
