Неравенство треугольника в планике

Рассмотрим треугольник . Пусть его биссектриса и медиана пересекаются в точке . В треугольнике отрезок является биссектрисой и высотой, поэтому треугольник равнобедренный, .

Обозначим . Тогда . По свойству биссектрисы , поэтому если , то . Сумма сторон треугольника равна периметру, т.е. , откуда , поэтому . Учтём неравенство треугольника:

Так как , то

На этом интервале содержится 24 целых значения .

Покажем, что никакая неупорядоченная тройка длин сторон треугольника не была посчитана более одного раза. Из двойного неравенства заключаем, что из сторон треугольника и сторона — наименьшая. Тогда по заданному значению вся тройка восстанавливается однозначно: наименьшее из этих чисел равно , ещё одно равно , а третье равно (где -— периметр). Поэтому две различные неупорядоченные тройки длин сторон задаются различными значениями .