Неравенство треугольника в планике

Полупериметр прямоугольника равен сумме его двух соседних сторон, то есть равен

Значит, нужно доказать, что

По условию Тогда

Запишем неравенство треугольника для

Запишем неравенство треугольника для

Сложим два полученных неравенства:

Заметим, что так как — прямоугольник. Тогда

Достаточно проверить выполнение трех неравенств треугольника. Пусть — точка пересечения отрезков и

Очевидно,

Проверим второе неравенство треугольника: Для этого прибавим к частям этого неравенства равные отрезки и т. е. проверим, что Действительно, по неравенству треугольника и кроме того, Значит,

Аналогично доказывается третье неравенство треугольника

Предположим противное, пусть и Как известно, в треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Получается, что и Если сложить неравенства, то получим, что пришли к противоречию.

Пусть — данный прямоугольник, а — произольная точка плоскости.

Заметим, что по неравенству треугольника Также по неравенству треугольника Осталось заметить, что

Отметим на такую точку что Получили параллелограмм То есть и По неравенству для треугольника имеем: (пусть не умаляя общности ). Осталось заметить, что и Получили требуемое. Для трапеции, у которой тупые углы не при одном основании, работает аналогичное построение.

Продлим до пересечения с в точке

Заметим, что потому что и Аналогично Следовательно,

Предположим, что прямые и пересекаются в точке Тогда треугольник — равнобедренный, откуда следует, что (это не зависит от того, с какой стороны пересекаются прямые и ). По неравенству треугольника получаем, что Осталось разобрать случай параллельности и В этом случае углы и равны по Опустим перпендикуляр на прямую Тогда что и требовалось доказать.

Первый способ. Рассмотрим всевозможные разбиения точек на пары и соединим их отрезками. Выберем разбиение на пары, в котором сумма длин проведенных отрезков минимальна. Такое разбиение существует, так как количество способов разбить на пары конечно.

Предположим, что какие-то два из отрезков ( и ) имеют общую точку .

Применим неравенство треугольника:

Сложим эти неравенства:

Тогда если мы поменяем пары в разбиении на пары то сумма длин проведенных отрезков уменьшится. Но это противоречит минимальности суммы длин во взятом разбиении на пары.

Второй способ. Мысленно проведем всевозможные отрезки между точками. Их конечное число, а возможных направлений прямых на плоскости бесконечно. Тогда найдется прямая, которая не параллельна ни одному из отрезков. Введем декартову систему координат на плоскости, где эта прямая будет осью абсцисс.

Так как ось абсцисс не параллельна ни одному из отрезков между точками, у всех точек будут различные ординаты. Тогда пронумеруем точки сверху вниз. И проведём отрезки, соединяющие самые “верхние” точки, затем следующие по высоте точки и так далее. (Пример на картинке)

Пусть дан треугольник а — произвольная точка внутри него. Докажем, что

Для этого продлим до пересечения с пусть — точка пересечения и

Запишем неравенство треугольника для треугольника

Тогда

Теперь применим неравенство треугольника для треугольника

Аналогично доказываем, что

Сложив три полученных неравенства, получим

Первое решение.

Рассмотрим треугольник В нём поэтому Поскольку луч проходит между сторонами угла то

то есть в треугольнике — Следовательно,

Второе решение.

Пусть — точка пересечения диагоналей и данного четырёхугольника. Применим неравенство треугольника к треугольникам и

Сложив почленно эти неравенства, получим, что Если то . ЧТД.

Рассмотрим для определенности конфигурацию, изображенную на рисунке

Тогда имеем следующие равенства:

Поскольку а то сложив второе и третье равенства получим

Следовательно

Заметим, что при таком решении не существенно, как расположены точки и

Выберем точку на окружности, и отметим также диаметрально противоположную ей точку , причем отметим так, чтобы ни , ни не совпадала ни с одной из отмеченных ранее точек (так можно сделать, ведь на окружности отмечено лишь конечное число точек, то есть конечное число запретов, меж тем как в качестве мы можем выбрать любую из бесконечного числа точек).

Для одной из выбранный точек рассмотрим два отрезка и . Заметим, что по неравенству треугольника сумма , так как  — диаметр окружности. Запишем аналогичные неравенства для всех и сложим их. Получим неравенство

значит, одна из двух скобок в левой части больше Таким образом, в качестве искомой точки подойдет либо , либо диаметрально противоположная ей точка .

По неравенству треугольника для треугольника имеем:

Аналогично

Складывая полученные неравенства имеем

Осталось показать, что Пусть — точка пересечения прямых и — образ точки при симметрии относительно прямой — образ точки при симметрии относительно прямой Тогда достаточно показать, что что эквивалентно

Пусть Тогда

Таким образом, неравенство (*) имеет вид

Наконец,

что верно, т.к.

Отметим на отрезке точки и так, что , чтобы получить и . Причём как внешние углы и . Следовательно, треугольник правильный, а тогда . Так как , то получаем, что точка совпадает с , поэтому . Кроме того, , как гипотенуза и меньший катет прямоугольного треугольника с углом . Итак, по неравенству треугольника, что и требовалось.

Пусть в равнобедренной трапеции с основаниями проведена диагональ так что первый жук ползает по циклу второй — по циклу

Рассмотрим моменты времени, в которые первый жук оказывается в точке За время обхода первым жуком полного цикла из снова в второй жук сдвигается по своему циклу на в одну и ту же сторону. Поскольку

при таких сдвигах в один из рассматриваемых моментов времени второй жук окажется на расстоянии меньше до точки по ходу своего движения, а значит, встретится с первым жуком на диагонали

Рассмотрим треугольник . Пусть его биссектриса и медиана пересекаются в точке . В треугольнике отрезок является биссектрисой и высотой, поэтому треугольник равнобедренный, .

Обозначим . Тогда . По свойству биссектрисы , поэтому если , то . Сумма сторон треугольника равна периметру, т.е. , откуда , поэтому . Учтём неравенство треугольника:

Так как , то

На этом интервале содержится 24 целых значения .

Покажем, что никакая неупорядоченная тройка длин сторон треугольника не была посчитана более одного раза. Из двойного неравенства заключаем, что из сторон треугольника и сторона — наименьшая. Тогда по заданному значению вся тройка восстанавливается однозначно: наименьшее из этих чисел равно , ещё одно равно , а третье равно (где -— периметр). Поэтому две различные неупорядоченные тройки длин сторон задаются различными значениями .

Пусть и — основания высот из и соответственно, а — ортоцентр треугольника Тогда

поскольку Тогда треугольники — равнобедренные. Значит,

и по неравенству треугольника. Просуммировав всё это, получим: ЧТД.

Первое решение.

Отразим точку относительно прямой . Получим точку .

Заметим, что — средняя линия треугольника . Значит, . При этом из симметрии . Тогда требуемое неравенство эквивалентно следующему: . А это в точности неравенство треугольника для .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Отметим — середину — и проведём .

как медиана треугольника , проведённая к гипотенузе. При этом как средняя линия треугольника . Из неравенства треугольника для получаем , или, что то же самое, . Требуемое получается из этого неравенства удвоением обеих частей.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

Можно заметить, что эти решения одинаковы с точностью до гомотетии с центром в точке и коэффициентом 2.

Пусть — середина Тогда Треугольники и равны, так как и (так как трапеция — равнобедренная). Следовательно, По неравенству треугольника ЧТД.

Первое решение.

Так как то и Обозначим через середину отрезка Тогда — средняя линия в треугольнике и По неравенству треугольника:

Второе решение.

поскольку поэтому треугольник тоже равнобедренный и Но как медиана в треугольнике