Неравенство треугольника в планике
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точка 
— центр вписанной в треугольник 
окружности. Внутри треугольника выбрана такая точка 
, что
. Докажите, что 
, причём равенство выполняется тогда и только тогда, когда точка 
совпадает с точкой 
.
Источники:
Подсказка 1
Сразу бросается в глаза неприятное равенство на сумму углов. Заметим, что было бы хорошо, если бы угол PBC складывался с PBA и PCA c PCB. Как мы можем этого добиться? Конечно, сложить левую часть равенства с правой, а затем повыражать неизвестные нам углы через углы треугольника ABC!
Подсказка 2
Мы получаем, что углы BPC и PIC = 90 + (угол A) / 2. Вспомним лемму о трезубце! Точки B,P,C,I будут лежать на одной окружности. Иначе, P будет лежать на описанной окружности треугольника BCI. Но где же находится центр этой окружности?
Подсказка 3
Конечно, вновь используя лемму о трезубце, мы понимаем что центр M окружности BCI лежит на середине дуги BC. Более того, M лежит на описанной окружности треугольника ABC. Это в точности значит, что M лежит на биссектрисе угла BAC. Помним, что нам необходимо доказать неравенство на отрезки. Обычно в таких ситуациях необходимо применить неравенство треугольника! Для какого треугольника неравенство будет наиболее подходящим?
Подсказка 4
Конечно для треугольника APM, ведь AM = AI + IM и IM = IP(как радиусы)
Пусть 
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Лемма. 
.
Доказательство. Заметим, что сумма углов 
и 
в два раза меньше, чем сумма углов 
и 
треугольника 
а значит,
равна 
Отсюда и следует утверждение леммы.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Вернёмся к доказательству. Пусть 
— описанная окружность 
а 
— её центр. По лемме о трезубце 
является центром
Заметим, что сумма углов 
и 
также равна 
то есть
Следовательно, в силу леммы, точка 
лежит на окружности 
Из неравенства треугольника для 
следует:
Поэтому 
Равенство достигается тогда и только тогда, когда 
принадлежит 
что означает 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
