Неравенство треугольника в планике

Выберем точку на окружности, и отметим также диаметрально противоположную ей точку , причем отметим так, чтобы ни , ни не совпадала ни с одной из отмеченных ранее точек (так можно сделать, ведь на окружности отмечено лишь конечное число точек, то есть конечное число запретов, меж тем как в качестве мы можем выбрать любую из бесконечного числа точек).

Для одной из выбранный точек рассмотрим два отрезка и . Заметим, что по неравенству треугольника сумма , так как  — диаметр окружности. Запишем аналогичные неравенства для всех и сложим их. Получим неравенство

значит, одна из двух скобок в левой части больше Таким образом, в качестве искомой точки подойдет либо , либо диаметрально противоположная ей точка .