Неравенство треугольника в планике

Первое решение.

Отразим точку относительно прямой . Получим точку .

Заметим, что — средняя линия треугольника . Значит, . При этом из симметрии . Тогда требуемое неравенство эквивалентно следующему: . А это в точности неравенство треугольника для .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Отметим — середину — и проведём .

как медиана треугольника , проведённая к гипотенузе. При этом как средняя линия треугольника . Из неравенства треугольника для получаем , или, что то же самое, . Требуемое получается из этого неравенства удвоением обеих частей.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

Можно заметить, что эти решения одинаковы с точностью до гомотетии с центром в точке и коэффициентом 2.