Вписанная и вневписанная окружности
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике 
обозначим середины сторон 
и 
через 
и 
соответственно. Пусть 
— центр вписанной
окружности треугольника 
Докажите, что прямая 
делит периметр треугольника 
пополам.
Подсказка 1
Проведите средние линии. Какой есть прекрасный факт про конструкцию с биссектрисой и параллельными прямыми? (средняя линия параллельна основанию)
Подсказка 2
Биссектриса высекает равнобедренный треугольник, просто потому, что можно перекинуть накрест лежащие углы и получить равные углы при основании
Подсказка 3
Итак, на средней линии B₀C₀ есть точки пересечения биссектрис Х и У, есть точка пересечения M с A₀I. Известны (можно выразить через стороны исходного треугольника) все длины B₀C₀, B₀Y, C₀X. Сделайте это!
Подсказка 4
Раз прямая A₀ I должна делить периметр пополам, то отрезки, получающиеся на средней линии после разбиения лучом A₀ I должны дополнять длины прилежащих сторон до полупериметра серединного треугольника.То есть можно вывести, чему должны быть равны B₀M и МС₀. С учётом имеющихся длин B₀Y и C₀X останется доказать XM=MY. Как можно показать, что IM является медианой в треугольнике IXY?
Подсказка 5
Заметьте, что IA₀ является медианой в IBC и задумайтесь, не подобны ли треугольники IBC и IXY.
Первое решение.
Пусть 
и при этом 
Пересечём биссектрисы 
и 
с 
в точках 
и 
соответственно. Тогда в силу параллельности равны отмеченные углы и 
Отсюда
следует, что обе точки лежат на отрезке 
Кроме того, 
и 
тогда 
Пусть 
тогда 
в силу подобия 
Осталось заметить, что
что и требовалось. Другие соотношения длин сторон рассматриваются аналогично,
поменяется только порядок точек на прямой 
Второе решение.
Ясно, что исходный треугольник 
можно перевести гомотетий в серединный треугольник 
Центром этой
гомотетии (неподвижной точкой) является точка пересечения медиан 
треугольника 
ведь медианы серединного
треугольника пересекаются тоже в точке 
Коэффициент этой гомотетии равен 
то есть сначала надо стороны
треугольника уменьшить в два раза, а потом сделать центральную симметрию относительно 
Куда перейдёт точка 
при этой гомотетии? С одной стороны, в центр вписанной в серединный треугольник окружности. С другой стороны, по
определению это будет такая точка 
на прямой 
, что 
Получаем, что на прямой Нагеля 
для
серединного треугольника нашлась такая точка 
что 
Значит, для серединного треугольника точка 
является
точкой Нагеля, а прямая 
— нагелианой. Известно, что нагелиана делит периметр треугольника пополам, потому
что отрезок касательной к вневписанной окружности как раз равен разности полупериметра треугольника и прилежащей
стороны.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
