Лемма о трезубце
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника 
равны 
и 
соответственно.
а) Прямая 
вторично пересекает описанную окружность треугольника 
в точке 
. Докажите, что 
б) Докажите, что квадрат расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей равен 
[Формула
Эйлера]
в) Докажите, что радиус описанной около треугольника окружности всегда не меньше, чем диаметр вписанной в данный треугольник окружности. А когда достигается равенство?
Пункт а), подсказка 1
Для начала можно применить лемму о трезубце и сказать, что WI = WB! А WB можно выразить с помощью теоремы синусов) Что теперь можно сделать с AI?
Пункт а), подсказка 2
Попробуйте опустить из точки I радиус на сторону AB, получится прямоугольный треугольник. А в нем AI выразить через угол и радиус вписанной окружности тоже можно, а дальше уже задача решается)
Пункт б), подсказка 1
Для начала перепишем формулу в виде R² - OI² = 2Rr. Если расписать разность квадратов, то получится произведение (R-OI)(R+OI)..Можно где-то найти такие отрезки?
Пункт б), подсказка 2
Да! Если провести диаметр через точки O и I! А дальше остается понять, почему произведение этих отрезков на этой прямой равно 2Rr. Для этого воспользуйтесь пунктом а)
Пункт в), подсказка 1
Просто смотрим на формулу из пункта б), и становится очевидно, что эта разность неотрицательная. А что делать с равенством?
Пункт в), подсказка 2
Из той же формулы получаем, что при равенстве OI = 0, т.е. I = O. А когда такое может быть?)
Решение пункта (а)
Пусть 
Из условия следует, что 
— биссектриса угла 
, то есть 
Поэтому 
. По лемме о трезубце 
Пусть 
— проекция точки 
на 
. Из прямоугольного треугольника 
находим, что
Итого
Решение пункта (б)
Переписав формулу в виде 
, докажем, что обе ее части равны произведению 
, где 
— точка пересечения
биссектрисы угла 
с описанной окружностью.
Пусть 
— точки пересечения прямой, содержащей 
и окружности, описанной около треугольника 
По свойству пересекающихся хорд
И по доказанному ранее в пункте (а) 
, поэтому
Первый вариант решения пункта (в)
По формуле Эйлера
Так как правая часть неотрицательна, то и левая часть неотрицательна, то есть
Получаем, что 
, то есть радиус описанной окружности всегда не меньше диаметра вписанной окружности.
Равенство 
достигается тогда и только тогда, когда
То есть центр вписанной окружности совпадает с центром описанной окружности. Это означает, что биссектрисы являются серединными перпендикулярами. Так как это выполняется для любой вершины треугольника, то каждая пара сторон треугольника является парой равных сторон. То есть треугольник является равносторонним.
Второй вариант решения пункта (в)
Пусть 
и 
— вписанная и описанная окружности треугольника 
. Через каждую вершину этого треугольника проведём
прямые, параллельные противолежащим сторонам. Получим треугольник 
, подобный данному с коэффициентом 
. Пусть 
—
радиус вписанной окружности треугольника 
.
Опишем около окружности 
треугольник 
, стороны которого соответственно параллельны сторонам треугольника 
так, что прямая 
и точка 
расположены по разные стороны от прямой 
, прямая 
и точка 
— по разные стороны от
прямой 
, прямая 
и точка 
— по разные стороны от прямой 
Треугольник 
подобен треугольнику 
и, следовательно, треугольнику 
. Стороны треугольника 
не
меньше соответствующих сторон треугольника 
(второй из этих треугольников целиком заключён внутри первого). Поэтому
Равенство достигается только в случае, когда все стороны треугольника 
касаются окружности 
. Тогда
Следовательно, 
То же верно для остальных углов. Треугольник является правильным.
Третий вариант решения пункта (в)
Пусть 
и 
— стороны треугольника, 
— полупериметр, 
— площадь. Тогда
Положим
Имеем
Где последнее — в силу неравенства о средних для трёх чисел.
Следовательно, 
. Равенство достигается, когда 
, то есть 
в случае равностороннего треугольника.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
