Длины векторов и скалярное произведение

(a) Обозначим вершины прямоугольника за Пусть точка — начало координат. Обозначим векторы и через и Тогда вектор будет равен Рассмотрим произвольную точку Обозначим вектор через Тогда сумма квадратов расстояний от до и равна (скалярное произведение двух одинаковых векторов равно квадрату модуля этого вектора). Аналогично сумма квадратов расстояний до и равна Заметим, что Также Равенство этих выражений равносильно равенству Учитывая, что поскольку векторы перпендикулярны, это верно.

(b) Распишем это равенство через векторы, введённые в предыдущем пункте:

После раскрытия скобок и приведения подобных получится равенство которое является верным.

(c) Обозначим вектор через Он перпендикулярен откуда Также откуда Если вычесть одно равенство из другого и учесть, что то получится равенство Это даёт требуемое.