Тема Векторы и координаты в планиметрии

Длины векторов и скалярное произведение

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела векторы и координаты в планиметрии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#126308Максимум баллов за задание: 7

Четыре числа ( $x,y,z,t$ ) удовлетворяют трем условиям:

2 2 2 2 x + y =1,z + t= 4,xz+yt= −2

Найти $t,$ если известно, что $y+z$ принимает наибольшее возможное значение.

Источники: Росатом - 2025, 10.4 ( см. olymp.mephi.ru)

Показать ответ и решение

Рассмотрим на плоскости два вектора $⃗a = {x;y}$ и $⃗b= {z;t},$ тогда, согласно условиям $x2+ y2 =1,z2+ t2 = 4,$ концы этих векторов лежат на окружностях радиуса 1 и 2 соответственно. Рассмотрим скалярное произведение векторов $⃗a$ и $⃗ b$ :

(⃗a,⃗b)= |⃗a|⋅|⃗b|⋅cosφ =xz+ yt= −2= −|⃗a|⋅|⃗b|

Следовательно, $cosφ = −1,$ и векторы $⃗a$ и $⃗b$ коллинеарные и противоположные по направлению. Тогда

⃗a ⃗b |⃗a| = −|⃗b|

⃗b=− 2⃗a

Так как конец вектора $⃗a,$ выпущенного из начала координат, лежит на единичной окружности, обозначим его координаты

⃗a ={cosα,sin α} , где α∈ ℝ ⃗b= −2{cosα,sinα}

Тогда $y =sinα;z =− 2cosα.$

√-(-1- 2-- ) √- y+ z = sinα− 2cosα = 5 √5 sinα − √5cosα = 5sin(α− φ),

где $φ$ — любой угол, такой что

cosφ= √1- и sin φ= √2- 5 5

Так как угол $α$ может принимать любые действительные значения, то угол $α− φ$ также может принимать любые действительные значения, в частности, при $α− φ= π2$ величина

y+z =√5 sin(α − φ) =√5

принимает наибольшее возможное значение. При этом

t=− 2sinα =−2 sin(π +φ) =− 2cosφ =− √2- 2 5

Ответ:

$−√2- 5$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#79601Максимум баллов за задание: 7

Векторы $⃗a ,⃗a,⃗a ,⃗a 1 2 3 4$ , расположенные в одной плоскости с вектором $⃗b$ , имеют равную длину, отличную от длины вектора $⃗b$ . Известно, что

−→ || || 9⃗a1− 4⃗a2− 5⃗b= 16⃗a3− 9⃗a4− 7⃗b= 0 ,|⃗a1− ⃗b|= 8

Найдите $|| ⃗|| |⃗a3− b|.$

Источники: ОММО - 2024, задача 4 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте выразим всё через a₁ и a₃, ведь именно они выделяются: a₁ = 4/9 * a₂ + 5/9 * b, a₃ = 9/16 * a₄ + 7/16 * b. Что мы можем заметить здесь? А если вспомнить словосочетание «отношение отрезков»?

Подсказка 2

Это похоже на то, что мы взяли вектора a₂ и b, провели их от одной точки и на отрезке, который соединяет их концы, поставили точку с отношение 7/9, и вот этот вектор равен a₁. Аналогично с a_3. Как теперь можно наше наблюдение совместить с фактом про равные длины из условия?

Подсказка 3

Давайте создадим треугольник AOE, где OA = a₂, OE = b. Тогда вектор a₁ понятно находится по рассуждению выше. Но ведь у нас еще есть a₃. Пусть тогда OD = a₄. Тогда, опять же, a₃ понятно ищется на картинке. Но что же все таки с равными длинами? В какой конструкции у нас много точек на одном расстоянии лежит?

Подсказка 4

Верно! Концы векторов a₁, a₂, a₃, a₄ лежат на одной окружности, при этом прямые DC, AB, OE пересекаются в одной точке и делятся понятным отношением этой самой окружностью. Что тогда остается сказать, если даны окружность и отношения секущих?

Подсказка 5

Можно сказать, что у нас EB * EA = EC * ED, если BA = 4x, а EC = 9y, то y = x/2. Осталось воспользоваться условием задачи ещё раз

Показать ответ и решение

Выразим $⃗a = 4a⃗+ 5⃗b 1 92 9$ и $⃗a = 9-⃗a +-7⃗b 3 164 16$ . Поэтому $⃗a 1$ — чевиана в треугольнике $AOE$ со сторонами $OA = ⃗a 2$ и $OE =⃗b$ , которая делит третью сторону $AE$ в отношении $5$ к $4$ . А $a⃗3$ — чевиана треугольника $OED$ со сторонами $⃗ OE =b$ и $OD = ⃗a4$ , делящая $ED$ в отношении $9$ к $7$ . Так как векторы $⃗a1,⃗a2,⃗a3,⃗a4$ равны, то они лежат на окружности с центром в точке $O$ , а треугольники $AOB$ и $OCD$ — равнобедренные.

$PIC$

По теореме об отрезках секущих

4x ⋅9x= 9y⋅16y

Откуда

y = x 2

По условию $4x= 8$ , следовательно $|a⃗3− ⃗b|= 9y = 9.$

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#82783Максимум баллов за задание: 7

Старинный подземный ход имеет свод параболической формы (то есть в поперечном сечении туннель ограничен полом — осью $Ox$ и графиком некоторой параболы $2 y = a− bx$ ). Ширина туннеля (измеряется по полу) равна $24$ , высота туннеля равна $18$ . Ход укрепили распорками — на параболе отметили точки $A$ , $B$ , $C$ , $D$ и соединили их между собой балками. Балки $AB$ и $CD$ параллельны полу, $AD$ пересекается с $BC$ , и при этом $∘ ∠ACB = ∠ADB = 90$ . Найдите расстояние между балками $AB$ и $CD$ .

Источники: Ломоносов - 2024, 11.6 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте введем на нашей картинке систему координат, которая была бы нам удобна. К примеру симметричную относительно прямой симметрии параболы и нулевой высоты в тоннеле. Тогда, что нужно чтобы зафиксировать картинку? Каких параметров будет достаточно, чтобы выразить через это всю картинку?

Подсказка 2

Нам достаточно h - высоты вершины, а также длины основания - 2l(для симметрии). Тогда, если наша парабола задается функцией f(x) = a - bx^2, то f(l) = f(-l), f(0) = h. Тогда f(x) = h(1 - x^2/l^2). Значит, мы можем задать две точки A и C, а остальные - будут отличаться от симметричных только умножением на -1 абсциссы. Давайте так и сделаем - пусть x_1 - абсцисса А, а x_2 - абсцисса C. Тогда как нам выразить перпендикулярность, если мы работаем в координатах? Мы ведь не использовали еще ни разу тот факт, что, к примеру, AC и CB перпендикулярны.

Подсказка 3

Верно, мы можем выразить это через скалярное произведение векторов AC и CB. После того, как мы запишем и преобразуем выражение, у нас получится, что -(x_2^2 - x_1^2) - (h^2)/(l^4) * (x_2^2 - x_1^2)^2 = 0. Но при этом, у нас x_1 != x_2, поэтому x_2^2 - x_1^2 = - (h^2)/(l^4). Тогда, нам остается понять, чему равно расстояние между балками и записать ответ!

Показать ответ и решение

Обозначим ширину тоннеля за $2l$ , а высоту за $h$ . Из этих параметров однозначно выводятся параметры параболы: $x$ принадлежит отрезку $[−l,l],$ а $y(l)= y(−l)= 0,$ так что

hx2 y(x)= h− -l2-

Теперь зададим координаты точек так:

2 2 2 2 A = (x1,h(1− xl12 )),B = (−x1,h(1 − x1l2 )),C = (x2,h(1 − x2l2 )),D = (x2,h(1− x2l2 ))

Так как $AB$ и $CD$ параллельны полу, то понятно, что ординаты $A$ и $B$ одинаковы. Значит, абсциссы отличаются только знаком. Аналогично для $C$ и $D$ .

$PIC$

Тогда перпендикулярность $AC$ и $CB,$ $AD$ и $DB$ можно выразить, например, через равенство нулю скалярных произведений. Достаточно рассмотреть одну пару, так как рисунок симметричен.

AC = (x2− x1; h(x2− x2),CB = (−x1 − x2; h(x2− x2)) l2 1 2 l2 2 1

2 2 h2- 2 22 AC ⋅CB =− (x2− x1)− l4 (x2− x1)= 0

Тогда либо $2 2 (x2− x1) =0$ (но балки не совпадают, поэтому такой вариант не подойдет), либо

2 2 l4 (x2− x1)= − h2

А расстояние между балками это:

2 |hl2(x22− x21)|= lh-= 8

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#97371Максимум баллов за задание: 7

(a) Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

(b) Докажите, что сумма квадратов сторон произвольного четырехугольника не меньше, чем сумма квадратов его диагоналей, причем равенство достигается только в случае параллелограмма.

Подсказки к задаче

Подсказка, пункт а

Введите векторы, образующие стороны параллелограмма. Честно напишите через эти 2 вектора сумму квадратов длин диагоналей и сумму квадратов длин всех четырех сторон.

Подсказка 1, пункт б

Введите векторы, образующие стороны четырехугольника, их получится 4. Как проверять то, что требуется в задаче? Нужно выразить все выражения через наши 4 вектора. Как понять, что равенство получается только в случае параллелограмма?

Подсказка 2, пункт б

Если перед вами параллелограмм, то противоположные векторы должны быть равны с обратным знаком, причем это равносильно. Подумайте, как это можно написать, и сведите задачу к этим двум выражениям.

Показать доказательство

(a) Пусть $v1,v2$ — векторы, образованные сторонами параллелограмма. Тогда диагонали параллелограмма образованы векторами $v1 +v2$ и $v1 − v2.$ Наконец, в силу билинейности скалярного произведения

2 2 (v1+v2) +(v1− v2) = (v1+ v2,v1+ v2)+ (v1− v2,v1− v2)=

2 2 =((v1,v1)+2(v1,v2)+(v2,v2)+((v1,v1)− 2(v1,v2)+ (v2,v2))= 2(v1 + v2)

(b) Пусть $v1,v2,v3,v4$ — векторы, образованные сторонами четырехугольника. Тогда векторы, образованные диагоналями четырехугольника, могут быть выражены как $v1+ v2,v2+ v3,v3+ v4,v4+v1.$ Тогда доказываемое неравенство можно представить в виде

(v + v − v − v )2 (v − v − v + v )2 v21 + v22 + v23 +v24 ≥-1--22-3---4 + -1---22-3---4

После раскрытия скобок в правой части, имеем

( ) ∑4 1 ∑4 i=1(vi,vi)≥ 4 2i=1(vi,vi)− 4(v1,v3)− 4(v2,v4)

4∑ (v,v)+ 2(v ,v )+ 2(v ,v )≥ 0 i=1 i i 1 3 2 4

(v1+ v3,v1+ v3)+ (v2 +v4,v2+ v4)≥0

(v1+ v3)2+ (v2 +v4)2 ≥0

последнее верно при любых $v1,v2,v3,v4,$ причем равенство достигается тогда и только тогда, когда $v1 = −v3,v2 =− v4,$ то есть когда исходный четырехугольник является параллелограмом.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#97373Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что для любых единичных векторов на плоскости $v , 1$ $v ,...,v 2 n$ можно выбрать знаки в выражении $± v ±v ± ...± v 1 2 n$ так, что длина получившегося вектора будет не меньше чем $√ - n.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Будем для удобства считать, что выбраны векторы u_i с учетом знака. Запишите квадрат суммы векторов. Что после этого нужно доказать?

Подсказка 2

Преобразованиями получите, что нужно взять векторы u_i так, чтобы сумма попарных скалярных произведений была неотрицательна. Как это можно сделать? Вообще у нас в условии n векторов, поэтому можно попробовать провернуть индукцию.

Подсказка 3

Докажите базу для двух векторов. Как реализовать переход? Выделите слагаемые, в которые входит новый вектор. Как бы сделать там сумму поменьше?

Показать доказательство

Пусть вектор $u1$ равен вектору $v1$ с выбранным перед ним знаком. Тогда результирующий вектор имеет вид $∑n i=1ui.$ Тогда достаточно показать, что знаки можно выбрать таким образом, что

( ) ∑n ∑n ∑ 2 ∑k k∑ n≤ i=1 ui,i=1ui = ui + 2i⁄=j(ui,uj)= n+2 i⁄=j(ui,uj)

то есть таким образом, что

∑k 0 ≤i⁄=j(ui,uj) (∗)

Докажем возможность такого выбора индукцией по $n.$ База для $n =2$ очевидна: скалярные произведения $(v1,v2)$ и $(v1,−v2)$ противоположны по знаку, а значит, хотя бы одно из них неотрицательно. Пусть для некоторого $k$ существует комбинация знаков при которой верно неравенство $(∗).$ Заметим, что

k+∑1 ( ∑k ) k∑ ( ∑k ) (ui,uj)= uk+1, ui + (ui,uj)≥(∗) uk+1, ui i⁄=j i=1 i⁄=j i=1

Сумма $∑k i=1ui$ фиксирована и не зависит от знака $uk+1,$ следовательно, достаточно положить такой знак $uk+1,$ что произведение $( ∑k ) uk+1, ui i=1$ неотрицательно.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#97374Максимум баллов за задание: 7

Дан четырёхугольник $ABCD,$ в котором $AB = AD$ и $∠ABC = ∠ADC = 90∘.$ На сторонах $BC$ и $CD$ выбраны соответственно точки $F$ и $E$ так, что $DF ⊥ AE.$ Докажите, что $AF ⊥ BE.$

Подсказки к задаче

Подсказка

Самое сложно это грамотно ввести векторы. Как это сделать, чтобы их не было слишком много? Введите все векторы, которые чему-то перпендикулярны. Постарайтесь выразить через эти векторы условие и то, что требуется доказать.

Показать доказательство

Отрезки $AF$ и $DE$ перпендикулярны, следовательно, (здесь и далее в данной задаче, $XY ≡−X−Y→)$ получаем $(AE,DF )=0.$ Осталось заметить, что

(AE,DF )=(AE,DA + AF)= (AE,DA )+(AE,AF)=

2 2 = (AD + DE,DA )+(AE,AF )= −AD +(DE,DA )+(AE,AF )=− AB + (AE,AF)

= (AB +BF,BA )+(AE,AF )= (AF,BA )+(AE,AF )=(AF,BA +AE )= (AF,BE )

следовательно, отрезки $AF$ и $BE$ так же перпендикулярны.

$PIC$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#97377Максимум баллов за задание: 7

Пусть $A A ...A 1 2 n$ — правильный $n$ -угольник, $X$ — произвольная точка. Рассмотрим проекции $X , 1$ $X ,...,X 2 n$ точки $X$ на прямые $A1A2,$ $A2A3,...,AnA1$ соответственно. Пусть $xi$ — длина отрезка $AiXi$ с учетом знака (знак плюс берётся в случае, когда лучи $AiXi$ и $AiAi+1$ сонаправлены). Докажите, что сумма $x1+ x2+...+xn$ равна половине периметра многоугольника $A1A2 ...An.$

Подсказки к задаче

Подсказка

Когда есть правильный многоугольник и вы хотите ввести векторы, очень полезно отметить его центр. Вам сразу легче становится выражать все векторы, а к тому же вы получаете прекрасное тождество - сумма векторов из O во все вершины равна 0. Сделайте это и в этой задаче, выразите все x_i через вектор OX, векторы выходящие из центра многоугольника и векторы сторон.

Показать доказательство

Достаточно рассмотреть случай, когда длины сторон многоугольника $A ...A 1 n$ равны $1.$ В этом случае $x = (A-X,−−A−−A−→) . i i i i+1$ Пусть $O$ — центр правильного многоугольника $A1...An.$ Тогда

∑n ∑n ( ) ( ∑n ) n∑ ( ) xi = −A−i→O,−−A−i−A−i+→1 + −−O→X, −−A−i−A−i+→1 = −A−i→O,−A−i−A−i−→+1 i=1 i=1 i=1 i=1

поскольку $∑n −−−−−→ −→ AiAi+1 = 0 i=1$ для любого многоугольника. Остаётся заметить, что

( −−→ −−−−−→ ) AiO,AiAi+1 = 1∕2

для всех $i.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#97586Максимум баллов за задание: 7

На плоскости нарисованы два квадрата $ABCD$ и $KLMN$ (их вершины перечислены против часовой стрелки). Докажите, что середины отрезков $AK$ , $BL$ , $CM$ и $DN$ являются вершинами квадрата.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, как можно доказать, что четырёхугольник является квадратом. Например, если доказать, что две соседние стороны равны и перпендикулярны, а потом сделать то же самое для других пар соседних сторон, то мы получим требуемое.

Подсказка 2

Реализовать задуманное можно через векторы. Если выразить векторы, соответствующие сторонам четырëхугольника, через векторы, про которые мы знаем побольше информации, а именно векторы сторон двух квадратов, то всё должно получиться.

Показать доказательство

Сформулируем и докажем следующюю лемму.

Лемма. Дан четырехугольник $ABCD$ , точки $M, N$ середины соотвественно сторон $AD$ и $BC$ , тогда

−→ −−→ −M−→N = AB-+-DC-. 2

Доказательство. Имеем

−−M→N = −−M→A + −A→B +−B−→N.

Аналогично

−M−N→ = −−M→D + −−D→C +−C−→N.

$PIC$

Поскольку $−M−A→ = −−M−→D$ и $−B−→N = −−C−→N$ , то, сложив полученные равенства и поделив на 2, получим требуемое.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Вернемся к доказательству исходной задачи. В силу леммы, имеем

−−→ −→ −−→ −→ −−→ −−→ PQ = AB-+-KL; QR = BC-+-LM- 2 2

Векторы $−→AB$ и $−K−→L$ получаются из векторов $−−B→C$ и $−L−M→$ поворотом на $90∘.$ Поэтому из приведенных выше равенств следует, что вектор $−Q→R$ получается из вектора $−−P→Q$ поворотом на $90∘,$ то есть отрезки $PQ$ и $QR$ равны и перпендикулярны. Аналогично, любые две стороны в четырехугольнике $P QRS$ равны и перпендикулярны.

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#97590Максимум баллов за задание: 7

Точка $K$ — середина стороны $AB$ квадрата $ABCD$ , а точка $M$ лежит на диагонали $AC$ , причём $AM :MC =3 :1.$ Докажите, что угол $KMD$ прямой.

Показать доказательство

Переведём задачу на язык векторов: $∠KMD$ прямой тогда и только тогда, когда скалярное произведение векторов $−M−K→$ и $−M−D→$ равно 0.

$PIC$

Выразим $−−→ MK$ через вектора $−→ AB$ и $−−→ AD$

−−→ −−→ −−→ 1−→ 3−→ 1−→ 3( −→ −−→ ) 1 −→ 3−−→ MK = AK − AM = 2AB − 4AC = 2AB − 4 AB+ BC = −4 AB − 4BC

Так как $ABCD$ — квадрат, то $−−→ −−→ AD = BC,$ тогда

−M−K→ = − 1−A→B − 3−B−→C =− 1−A→B − 3−A−→D 4 4 4 4

Выразим $−M−→D$ через вектора $−A→B$ и $−−A→D$

( ) −−M→D = −−A→D − −−A→M = −−A→D − 3 −A→C =−A−→D − 3 −A→B +−A−→D = 1 −−A→D − 3 −A→B 4 4 4 4

Теперь рассмотрим их скалярное произведение

−−→ −−→ ( 1−→ 3−−→ ) ( 1−−→ 3−→ ) -3−→ 2 3-−−→ 2 8-−→ −−→ MK ⋅MD = −4AB − 4AD ⋅ 4AD − 4AB = 16AB − 16AD + 16AB ⋅AD

Заметим, что раз $ABCD$ — квадрат, то $AB = AD$ и $∠BAD$ прямой, следовательно, $−→ 2 −−→2 AB = AD$ и $−→ −−→ AB ⋅AD = 0,$ тогда получаем

−−→ −−→ 3 3 MK ⋅MD = 16 − 16 = 0.

Значит, $∠KMD$ прямой.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#121925Максимум баллов за задание: 7

(a) Пусть $A,B,C$ и $D$ — произвольные точки на плоскости. Докажите, что $------ --- --- --- --- (AB,CD )+ (BC, AD)+ (CA, BD)= 0.$

(b) Выведите из (a), что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Показать доказательство

(a) Пусть точка $O$ — начало координат. Обозначим векторы $--------- --- OA,OB,OC, OD$ через $a,b,c,d.$ Если векторы в равенстве из условия выразить через $a,b,c,d,$ то оно примет вид:

(b− a)(d− c)+ (c− b)(d− a)+ (a− c)(d− b) =0.

Если раскрыть скобочки в левой части, все слагаемые взаимно уничтожатся.

(b) Давайте пересечём высоты из $A$ и $B$ в точке $H.$ Рассмотрим равенство из предыдущего пункта, но только вместо $D$ будет точка $H.$ Из определения высоты имеем: $------ (BC,AH )= 0$ и $------ (CA,BH )= 0.$ Но тогда и $------ (AB,CD )=0.$ То есть $CD ⊥AB.$ Получили требуемое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#121945Максимум баллов за задание: 7

(a) Докажите, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки плоскости до двух противоположных вершин прямоугольника равна сумме квадратов расстояний от этой точки до двух других вершин прямоугольника.

(b) Дан прямоугольник $ABCD$ и точка $P.$ Докажите, что $------ --- --- PA⋅PC = PB ⋅PD.$

(c) Дан прямоугольник $ABCD$ и точка $P.$ Прямые, проходящие через $A$ и $B$ и перпендикулярные, соответственно, $PC$ и $PD,$ пересекаются в точке $Q.$ Докажите, что $PQ ⊥AB.$

Показать доказательство

(a) Обозначим вершины прямоугольника за $A,B,C,D.$ Пусть точка $A$ — начало координат. Обозначим векторы $--- AB$ и $--- AD$ через $u$ и $v.$ Тогда вектор $--- AC$ будет равен $u+ v.$ Рассмотрим произвольную точку $P.$ Обозначим вектор $--- OP$ через $p.$ Тогда сумма квадратов расстояний от $P$ до $B$ и $D$ равна $2 2 (p− u) +(p− v)$ (скалярное произведение двух одинаковых векторов равно квадрату модуля этого вектора). Аналогично сумма квадратов расстояний до $A$ и $C$ равна $2 2 p + (p − (u+ v)) .$ Заметим, что $2 2 2 2 2 (p− u)+ (p− v) = 2p − 2p(u+v)+ u + v.$ Также $2 2 2 2 p +(p− (u+v)) =2p − 2p(u+ v)+ (u+ v).$ Равенство этих выражений равносильно равенству $2 2 2 u + v = (u+ v).$ Учитывая, что $uv = 0,$ поскольку векторы перпендикулярны, это верно.

(b) Распишем это равенство через векторы, введённые в предыдущем пункте:

(u− p)(v− p)= (u+v − p)(0 − p).

После раскрытия скобок и приведения подобных получится равенство $uv = 0,$ которое является верным.

(c) Обозначим вектор $OQ-$ через $q.$ Он перпендикулярен $PC,$ откуда $q(u+ v− p)= 0.$ Также $BQ ⊥PD,$ откуда $(v− q)(p− u) =0.$ Если вычесть одно равенство из другого и учесть, что $uv = 0,$ то получится равенство $v(q− p)= 0.$ Это даёт требуемое.

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#121964Максимум баллов за задание: 7

Четыре перпендикуляра, опущенные из вершин выпуклого пятиугольника на противоположные стороны, пересекаются в одной точке. Докажите, что пятый такой перпендикуляр тоже проходит через эту точку.

Показать доказательство

$PIC$

Пусть $0$ будет началом отсчёта, а векторы до вершин $A,B,C,D,E$ обозначим $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e$ соответственно, а вектор к точке пересечения перпендикуляров $P$ — $p.$ Для первых четырёх перпендикуляров выполняются условия перпендикулярности:

1. Перпендикуляр из $A$ на сторону $CD :$

(p− a)⋅(d− c)= 0.

2. Перпендикуляр из $B$ на сторону $DE :$

(p− b)⋅(e− d)= 0.

3. Перпендикуляр из $C$ на сторону $EA :$

(p− c)⋅(a− e)= 0.

4. Перпендикуляр из $D$ на сторону $AB :$

(p− d)⋅(b− a)= 0.

Из системы уравнений следует, что $P$ удовлетворяет всем четырём условиям. Для доказательства, что пятый перпендикуляр из $E$ на сторону $AB$ также проходит через $P,$ запишем cумму первых четырёх уравнений:

p ⋅(d − c +e− d+ a− e+ b− a)− a⋅d +c ⋅a − b ⋅e +b ⋅d − c ⋅a +c ⋅e − b ⋅d +a ⋅d = 0

p⋅(b− c)+(c− b)⋅e= 0 ⇐ ⇒ (p− e)⋅(b− c)= 0,

это и есть условие перпендикулярности.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#121965Максимум баллов за задание: 7

В треугольнике $ABC$ выполнено $AC2 + BC2 = 5AB2.$ Докажите, что медианы $AK$ и $BM$ перпендикулярны.

Показать доказательство

Привяжем систему отсчёта к точке $C.$ Обозначим векторы сторон:

--- - --- - CA =a, CB = b.

Тогда вектор $AB-= a− b.$ Из условия:

-2 -2 - -2 |a| +|b| = 5|a− b|.

Медианы:

- --- b - ---- a - AK = 2 − a, BM = 2 − b.

Скалярное произведение:

--- ---- (b ) (a -) 5a ⋅b |a|2+ |b|2 AK ⋅BM = 2 − a ⋅ 2 −b = -4--−----2-- .

Подставим условие $|a|2+ |b|2 =5|a− b|2 :$

- - - - - - AK-⋅BM-= 5a⋅b− 5(|a|2−-2a⋅b+|b|2)= 0. 4 2

Следовательно, медианы перпендикулярны.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#121967Максимум баллов за задание: 7

Дан четырехугольник с целыми координатами вершин и равными диагоналями. Докажите, что его диагонали не могут пересекаться под углом $∘ 45 .$

Показать доказательство

Пусть $AC-$ и $BD-$ — диагонали четырёхугольника $ABCD.$ Если они пересекаются под $45∘,$ то:

--- --- --- --- ∘ AC ⋅BD =|AC|⋅|BD |⋅cos45 .

Так как $|AC|= |BD-|,$ то:

--- --- ---2 √2- AC ⋅BD = |AC| ⋅ 2 .

Но $--- --- AC ⋅BD$ — целое число (целые координаты), а $---2 √2 |AC| ⋅2-$ — иррациональное. Противоречие. Угол $∘ 45$ невозможен.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#121988Максимум баллов за задание: 7

В равнобедренном треугольнике $ABC$ на основании $AC$ выбрана точка $P.$ Точки $X$ и $Y$ на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно таковы, что $PX ∥BC,$ $PY ∥AB.$ Точка $K$ — середина дуги $AC$ (не содержащей точку $B$ ) описанной окружности треугольника $ABC.$ Докажите, что $KP ⊥XY.$

Показать доказательство

$PIC$

Поместим треугольник $ABC$ в декартову систему:

— $A (−a,0),$ $C(a,0),$ $B(0,b),$ где $a> 0,$ $b> 0.$

— Точка $P$ на $AC :$ $P(p,0),$ $p∈ [− a,a].$

Условие $PX ∥ BC.$ Направляющий вектор $BC :$ $(a,−b).$ Прямая $PX :$

x−-p= y−-0 =⇒ y =− b(x− p). a −b a

Параметризация $AB :$

X (t)= (−a+ t⋅a,0+ t⋅b), t∈ [0,1].

Подставляем $y = − ba(x− p)$ в $AB :$

t⋅b =− b(− a+ t⋅a − p) =⇒ t= a+-p. a 2a

Координаты $X :$

( a+p-b(a+-p)) (−a-+p b(a-+p)) − a+ 2 , 2a = 2 , 2a .

Условие $PY ∥AB.$ Направляющий вектор $AB :$ $(a,b).$ Прямая $PY :$

x − p y− 0 b --a- = -b-- =⇒ y = a(x− p).

Параметризация $BC :$

Y(s)=(0+ s⋅a,b− s⋅b), s∈[0,1].

Подставляем $y = ba(x− p)$ в $BC :$

b− s ⋅b= ba (s⋅a− p) =⇒ s= a+2ap.

Координаты $Y :$

( ) a+-p,b(a−-p) . 2 2a

Радиус описанной окружности: $a2+b2. b$ Точка $K$ — середина дуги $AC,$ лежит на оси $Oy$ имеет координаты:

( 2 2 ) ( 2) 0,a-+-b-− b = 0,a- . b b

Теперь найдём координаты каждого из векторов и посчитаем скалярное произведение, которое должно быть равно нулю.

KP- =(p− 0,0+ a2)= (p,a2), b b

--- ( a+ p −a+ p b(a− p) b(a+ p)) bp XY = -2--− --2--,--2a--− --2a-- = (a,− a-).

2 KP-⋅XY-= pa − a-bp= 0. ab

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#69116Максимум баллов за задание: 7

В прямоугольнике $ABCD$ опущен перпендикуляр $BK$ на диагональ $AC.$ Точки $M$ и $N$ — середины отрезков $AK$ и $CD$ соответственно. Докажите, что угол $BMN$ прямой.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте вспомним, как доказывать перпендикулярность, используя векторы? Конечно, мы должны доказать, что скалярное произведение MN и BM равно нулю. Для этого необходимо выразить эти векторы через попарно перпендикулярные: BC, BK, KC, AB

Подсказка 2

Так как скалярное произведение линейно по каждому аргументу, имеем, что MN * BM = 1/4 (BC * BK - KC * AB). Как используя перпендикулярность векторов (то есть BC * BA = KC * BK = 0) доказать, что BC * BK - KC * AB = 0?

Подсказка 3

Используйте, что BK = KC * ctg(α) и AB = BC * ctg(α), где ∠KBC = ∠BAC = α

Показать доказательство

$PIC$

Поскольку

( ) ( ) ( ) −M−N→ = 1 −A−→D + −−K→C = 1 −−B→C +−K−→C и −B−M→ = 1 −B→A + −−B→K 2 2 2

то

−−→ −−→ 1( −−→ −−→ ) (−→ −−→ ) 1 (−−→ −−→ −−→ −→ ) MN ⋅BM = 4 BC +KC ⋅ BA + BK = 4 BC ⋅BK +KC ⋅BA =

1( −−→ −−→ −−→ −→ ) = 4 BC ⋅BK −KC ⋅AB

Так как

−−→ −→ −−→ −−→ BC ⋅BA = KC ⋅BK = 0

Обозначим $∠BAC =∠KBC = α.$

Тогда

−−B→C ⋅−−B→K − −K−C→ ⋅−A→B = BC ⋅BK ⋅cosα − KC ⋅AB ⋅cosα =

= (BC⋅BK − KC ⋅AB)cosα= (BC⋅KC ctgα− KC ⋅BCctgα)cosα = 0.

Следовательно, $BM ⊥ MN.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#69118Максимум баллов за задание: 7

Пусть $O$ — центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника $ABC$ $(AB =AC ),D$ — середина стороны $AB,$ а $E$ — точка пересечения медиан треугольника $ACD.$ Докажите, что $OE ⊥ CD.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно доказать, что какие-то две прямые перпендикулярны. Может, попробовать доказать, что направляющие векторы этих прямых перпендикулярны...

Подсказка 2

Два вектора перпендикулярны, когда их скалярное произведение равно 0. Может, как-то удобно выразить векторы EO и CD, чтобы посчитать их скалярное произведение...

Подсказка 3

Попробуйте выразить их через вектора OA, OC, OB. Например, вектор CD=1/2(CA+CB), где CA=CO+OA и CB=CO+OB.

Подсказка 4

Осталось выразить OE. Мы знаем, что OE=OA+AE, а AE=1/3(AD+AC). Как же тогда выражается OE через OA, OC, OB?

Подсказка 5

OE=1/6(3OA+2OC+OB). Проверьте, что скалярное произведение действительно равно нулю, и радуйтесь!

Показать доказательство

$PIC$

( ) −−O→D = 1 −O→A + −−O→B 2

Поэтому

−−→ 1 (−→ −−→ −−→ ) 1( −→ −−→ 1(−→ −−→) ) OE = 3 OA +OC + OD = 3 OA+ OC + 2 OA + OB = = 1(3−O→A + 2−−O→C+ −O−→B ) 6

Кроме того,

−−→ 1 (−→ −−→ ) 1 ((−−→ −→ ) (−−→ −−→ )) CD = 2 CA +CB = 2 CO + OA + CO + OB = 1 (−→ −−→ −−→) = 2 OA +OB − 2OC

Значит,

( ) ( ) 12−O−→E ⋅−C−→D = 3−O→A +2−O−→C + −−O→B ⋅ −O→A +−O−→B − 2−−O→C =

= 3−O→A2 + 3−O→A ⋅−O−→B − 6−O→A ⋅−O−→C + 2−O−→C ⋅−O→A + 2−O−→C ⋅−O−→B − 4−O−→C2+

+−O→A ⋅−−O→B +−O−→B2 − 2−O−→B ⋅−−O→C =

−→ −−→ −→ −−→ = 3R2 − 4R2 +R2 +4OA ⋅OB − 4OA ⋅OC =

−→ (−−→ −−→ ) −→ −−→ = 4OA OB − OC = 4OA ⋅CB = 0

Так как $OA ⊥ BC$ ( $R$ — радиус окружности). Следовательно, $OE ⊥CD.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#98023Максимум баллов за задание: 7

Про натуральные числа $n,m,k$ и $l$ известно, что $mn =kl= 350.$ Оказалось, что точки с координатами $(m,n)$ и $(k,l)$ различны, а площадь треугольника с вершинами в данных точках и начале координат минимальна. Вычислите эту площадь.

Источники: Отбор Физтех 2023, Задача 4 (olymp-online.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $⃗a$ и $⃗b$ — векторы с координатами $(m, n)$ и $(k,l)$ соответственно. Построим перпендикулярный к $⃗b$ вектор $⃗b′$ такой, что $⃗ ⃗′ |b|= |b |,$ его координаты будут $(−l,k).$

$PIC$

Можем выразить площадь треугольника через векторы $⃗a$ и $⃗ b:$

1 S = 2|⃗a||⃗b|sinα,

где $α$ — угол между $⃗a$ и $⃗b.$

Учитывая, что $sin α= cos(90∘− α)$ и $|⃗b|=|⃗b′|,$ получаем:

S = 1|⃗a||⃗b′|cos(90∘− α) 2

Но $(90∘ − α)$ равно уголу между $⃗a$ и $⃗b′,$ тогда $|⃗a||⃗b′|cos(90∘− α )$ — скалярное произведение $⃗a$ и $⃗b′.$

S = 1(⃗a,⃗b′)= 1⋅(−ml+ nk) 2 2

Минимизируем $nk − ml :$

350- 350 ( n -l) nk− ml= n ⋅ l − l⋅ n = 350⋅ l − n

По построению, не умаляя общности, $n> l$ (иначе бы строили перпендикуляр относительно вектора $⃗a,$ а не $⃗b$ ).

Для минимизации выражения нужно, чтобы $n l$ было минимально. Тогда $n 7 l = 5.$

Получаем окончательное значение площади:

( ) S = 12 ⋅350 ⋅ 75 − 57 =120

Ответ: 120

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#34678Максимум баллов за задание: 7

Точка $O$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$ со сторонами $BC = 8$ и $AC = 4$ . Найдите длину стороны $AB$ , если длина вектора $−→ −−→ −−→ 4OA −OB − 3OC$ равна $10$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В таких задачах на счет нужно очень четко понять, какие переменные мы вводим и зачем это делать. Какие переменные у нас уже известны? Две стороны треугольника. Значит, если попробовать выразить наше выражение векторное, через часть из известных переменных и того, что нам нужно найти, то может что-то получится.

Подсказка 2

Давайте выразим каждый из векторов в выражении через векторы CA и AB, тогда выходит, что |3AC + AB| = 10 (здесь написаны векторы). Далее, нам ничего не остается как возводить в квадрат, но там вылезет косинус из произведения векторов. Как побороть эту проблему, если у нас в виде переменных остаются AB и cos(BAC).

Подсказка 3

Конечно, у нас есть cos(BAC) и AB, значит все намекает на теорему косинусов для треугольника ABC и стороны BC. Вычтя из нашего равенства, которое получилось возведением в квадрат модуля, равенство из теоремы косинусов, получим уравнение, в котором есть AB*cos(BAC), приравненное к константе. Что тогда можно сделать, чтобы найти AB?

Подсказка 4

Само собой, остается подставить это в уравнение, полученное из модуля, так как после подстановки, там останется одна неизвестная - AB, а значит, задача решена!

Показать ответ и решение

$PIC$

Будем пользоваться тем, что скалярный квадрат вектора равен квадрату длины вектора.

Из условия получаем, что

|3−−→CO+ 3−O→A +−B−→O + −O→A|= 10

−→ −→ |3CA+ BA|= 10

−→ −→ |3AC+ AB|= 10

А теперь возведём обе части в квадрат:

9AC2+ AB2 +6AC ⋅AB⋅cos∠BAC = 100

По теореме косинусов из треугольника $ABC$ имеем

2 2 2 AC + AB − 2AC ⋅AB ⋅cos∠BAC = BC

Вычитая это равенства из полученного выше, получаем

8AC2+ 8AB ⋅AC ⋅cos∠BAC =100− BC2

С учётом $AC = 4,BC = 8$ имеем

8⋅16+ 8⋅AB ⋅4⋅cos∠BAC = 36

8AB ⋅cos∠BAC =9− 32

Подставим в $2 2 2 AC + AB − 2AC ⋅AB ⋅cos∠BAC = BC :$

2 16+ AB +23= 64

AB =5

Ответ:

$5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#72245Максимум баллов за задание: 7

В треугольнике $ABC$ синус угла $A$ равен $3∕5.$ На стороне $AC$ взяли точку $M$ так, что $CM =15,$ на стороне $AB$ взяли точку $N$ так, что $BN = 7,AN = AM,$ $T$ — середина $NC,$ $P$ — середина $BM.$ Найдите длину отрезка $PT.$ Если возможных ответов несколько, введите их сумму. Ответ округлите до десятых.

Источники: Муницип - 2022, Республика Башкортостан, 10.4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас отмечены две середины, может, стоит поискать средние линии? Попробуйте придумать какую-нибудь среднюю линию с точкой T...

Подсказка 2

Можно взять точку L- середину BC. Тогда TL- средняя линия треугольника △NCB ⇒ TL=7/2 и TL // AB. А что мы можем сказать про PL?

Подсказка 3

Это тоже средняя линия, только для треугольника △MBC ⇒PL=15/2 и PL // AC. Из параллельности следует, что уголок ∠PLT равен ∠BAC. Можем ли мы уже найти PT?

Подсказка 4

Конечно можем, ведь у нас есть теорема косинусов! Доведите решение до конца и не забудьте, что cos(∠BAC) может принимать два значения...

Показать ответ и решение

$PIC$

Обозначим длины $AN$ и $AM$ за $x.$ Введём систему из двух единичных векторов: пусть вектор $−→ b$ коллинеарен вектору $−→ AB,$ а вектор $−→c$ коллинеарен вектору $−A→C.$ Тогда верны векторные соотношения:

−→PT =−A→T − −→AP,−A→P = 1(−A→B + −−A→M ),−A→T = 1(−→AC+ −−A→N ) 2 2 −→AB = (x+ 7)⃗b,−→AC = (x+ 15)⃗c, −A−→M = x⃗c, −A−→N = x⃗b −→ 1 −→ −−→ −→ −−→ 1 ⃗ P T = 2(AC +AN − AB −AM )= 2(15⃗c− 7b)

Вычисляя скалярный квадрат вектора $−→ PT,$ и учитывая, что косинус угла $\text{[math]}$ может быть равен равен $4∕5$ для острого угла и $− 4∕5$ для тупого, получим

−→ −→ 1 PT ⋅PT = 4(49⃗b⋅⃗b+225⃗c⋅⃗c− 210⃗b⋅⃗c)= 26,5 −→ −→ 1 ⃗⃗ ⃗ PT ⋅PT = 4(49b⋅b+225⃗c⋅⃗c− 210b⋅⃗c)= 110,5

Ответ: 15.7