Поместим треугольник $ABC$ в декартову систему:

— $A (−a,0),$ $C(a,0),$ $B(0,b),$ где $a> 0,$ $b> 0.$

— Точка $P$ на $AC :$ $P(p,0),$ $p∈ [− a,a].$

Условие $PX ∥ BC.$ Направляющий вектор $BC :$ $(a,−b).$ Прямая $PX :$

x−-p= y−-0 =⇒ y =− b(x− p). a −b a

Параметризация $AB :$

X (t)= (−a+ t⋅a,0+ t⋅b), t∈ [0,1].

Подставляем $y = − ba(x− p)$ в $AB :$

t⋅b =− b(− a+ t⋅a − p) =⇒ t= a+-p. a 2a

Координаты $X :$

( a+p-b(a+-p)) (−a-+p b(a-+p)) − a+ 2 , 2a = 2 , 2a .

Условие $PY ∥AB.$ Направляющий вектор $AB :$ $(a,b).$ Прямая $PY :$

x − p y− 0 b --a- = -b-- =⇒ y = a(x− p).

Параметризация $BC :$

Y(s)=(0+ s⋅a,b− s⋅b), s∈[0,1].

Подставляем $y = ba(x− p)$ в $BC :$

b− s ⋅b= ba (s⋅a− p) =⇒ s= a+2ap.

Координаты $Y :$

( ) a+-p,b(a−-p) . 2 2a

Радиус описанной окружности: $a2+b2. b$ Точка $K$ — середина дуги $AC,$ лежит на оси $Oy$ имеет координаты:

( 2 2 ) ( 2) 0,a-+-b-− b = 0,a- . b b

Теперь найдём координаты каждого из векторов и посчитаем скалярное произведение, которое должно быть равно нулю.

KP- =(p− 0,0+ a2)= (p,a2), b b

--- ( a+ p −a+ p b(a− p) b(a+ p)) bp XY = -2--− --2--,--2a--− --2a-- = (a,− a-).

2 KP-⋅XY-= pa − a-bp= 0. ab

Длины векторов и скалярное произведение