Тема . Векторы и координаты в планиметрии

Длины векторов и скалярное произведение

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела векторы и координаты в планиметрии

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#121988

В равнобедренном треугольнике $ABC$ на основании $AC$ выбрана точка $P.$ Точки $X$ и $Y$ на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно таковы, что $PX ∥BC,$ $PY ∥AB.$ Точка $K$ — середина дуги $AC$ (не содержащей точку $B$ ) описанной окружности треугольника $ABC.$ Докажите, что $KP ⊥XY.$

Показать доказательство

$PIC$

Поместим треугольник $ABC$ в декартову систему:

— $A (−a,0),$ $C(a,0),$ $B(0,b),$ где $a> 0,$ $b> 0.$

— Точка $P$ на $AC :$ $P(p,0),$ $p∈ [− a,a].$

Условие $PX ∥ BC.$ Направляющий вектор $BC :$ $(a,−b).$ Прямая $PX :$

x−-p= y−-0 =⇒ y =− b(x− p). a −b a

Параметризация $AB :$

X (t)= (−a+ t⋅a,0+ t⋅b), t∈ [0,1].

Подставляем $y = − ba(x− p)$ в $AB :$

t⋅b =− b(− a+ t⋅a − p) =⇒ t= a+-p. a 2a

Координаты $X :$

( a+p-b(a+-p)) (−a-+p b(a-+p)) − a+ 2 , 2a = 2 , 2a .

Условие $PY ∥AB.$ Направляющий вектор $AB :$ $(a,b).$ Прямая $PY :$

x − p y− 0 b --a- = -b-- =⇒ y = a(x− p).

Параметризация $BC :$

Y(s)=(0+ s⋅a,b− s⋅b), s∈[0,1].

Подставляем $y = ba(x− p)$ в $BC :$

b− s ⋅b= ba (s⋅a− p) =⇒ s= a+2ap.

Координаты $Y :$

( ) a+-p,b(a−-p) . 2 2a

Радиус описанной окружности: $a2+b2. b$ Точка $K$ — середина дуги $AC,$ лежит на оси $Oy$ имеет координаты:

( 2 2 ) ( 2) 0,a-+-b-− b = 0,a- . b b

Теперь найдём координаты каждого из векторов и посчитаем скалярное произведение, которое должно быть равно нулю.

KP- =(p− 0,0+ a2)= (p,a2), b b

--- ( a+ p −a+ p b(a− p) b(a+ p)) bp XY = -2--− --2--,--2a--− --2a-- = (a,− a-).

2 KP-⋅XY-= pa − a-bp= 0. ab

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Длины векторов и скалярное произведение

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ