Длины векторов и скалярное произведение

Первое решение. Пусть и Прямая перпендикулярна медиане, следовательно,

С другой стороны, и , поэтому

Складывая три полученных равенства, выводим

что возможно только если вектор нулевой, поскольку прямая не перпендикулярна стороне . Это обеспечивает равенство .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Обозначим середину отрезка за . Отразим точки и относительно , то есть построим точки и такие, что является серединой отрезков и

Ясно, что , что означает . С другой стороны, , так как и - это одна и та же прямая. Наконец, отметим, что : это следует из того, что перпендикулярна , а - средняя линия в треугольнике , то есть .

Осталось воспользоваться тем, что высоты и треугольника пересекаются в одной точке. Это означает, что совпадает с , то есть .