Длины векторов и скалярное произведение
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В первой четверти координатной плоскости отметили две точки 
и 
с целочисленными координатами. Оказалось, что
, где 
— начало координат. Докажите, что хотя бы одна из четырёх координат точек 
и 
— чётное
число.
Источники:
Подсказка 1
Как мы можем связать угол и координаты этих точек? Через скалярное произведение. Запишите его и подумайте над тем, что с ним можно сделать, если знать, что все координаты - целые числа.
Подсказка 2
Мы можем возвести в квадрат, чтобы избавиться от иррациональности. Теперь положим, что все числа нечётные. Что нам это даёт? Какой остаток по модулю 4 дает любой нечётный квадрат? А что тогда можно сказать про степень вхождения двойки в левую и правую части?
Пусть точка 
имеет целочисленные координаты 
, а точка 
— 
. Запишем скалярное произведение векторов 
и
двумя способами: через координаты и через угол между ними.
Предположим, все числа 
нечётны, тогда все выражения в скобках являются чётными числами. Квадрат любого нечётного числа
даёт остаток 1 при делении на 4 (поскольку 
), поэтому каждая из скобок в правой части является чётным числом,
не делящимся на 4 . Получаем противоречие с тем, что левая часть равенства делится на 
, а правая на 8 не
делится.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
