Длины векторов и скалярное произведение
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике 
точка 
— центр описанной окружности, 
— середина стороны 
— точка пересечения
медиан треугольника 
Известно, что отрезки 
и 
перпендикулярны. Докажите, что треугольник 
равнобедренный.
Подсказка 1
Для начала стоит ответить на 2 вопроса. Какие стороны в треугольники должны быть равны? Какие векторы можно ввести?
Подсказка 2
Порисовав картинки можно понять, что хочется доказывать, что AB = AC. В условии спрашивается что-то про равенство отрезков, поэтому удобно ввести векторы a=OA, b=OB, c=OC. Они все равны по длине, а еще через них выражаются все условия. Сделайте это. Как теперь доказывать, что какие-то 2 стороны равны?
Подсказка 3
Аккуратно напишите через векторы OA, OB и OC перпендикулярность из условия, поймите из нее, что (a,b) = (a,c). Почему это равносильно тому, что AB = AC? Вспомните про косинус и докажите это.
Введем векторы 
Без ограничений общности будем, считать, что описанная окружность имеет единичный радиус, в
частности, 
Тогда
Пусть 
— середина 
следовательно,
.png)
Таким образом,
Наконец,
В силу перпендикулярности векторов 
и 
имеем
Таким образом, 
откуда 
следовательно, 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
