Длины векторов и скалярное произведение

Пусть вектор равен вектору с выбранным перед ним знаком. Тогда результирующий вектор имеет вид Тогда достаточно показать, что знаки можно выбрать таким образом, что

то есть таким образом, что

Докажем возможность такого выбора индукцией по База для очевидна: скалярные произведения и противоположны по знаку, а значит, хотя бы одно из них неотрицательно. Пусть для некоторого существует комбинация знаков при которой верно неравенство Заметим, что

Сумма фиксирована и не зависит от знака следовательно, достаточно положить такой знак что произведение неотрицательно.