Длины векторов и скалярное произведение
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что для любых единичных векторов на плоскости 
можно выбрать знаки в выражении 
так,
что длина получившегося вектора будет не меньше чем 
Подсказка 1
Будем для удобства считать, что выбраны векторы u_i с учетом знака. Запишите квадрат суммы векторов. Что после этого нужно доказать?
Подсказка 2
Преобразованиями получите, что нужно взять векторы u_i так, чтобы сумма попарных скалярных произведений была неотрицательна. Как это можно сделать? Вообще у нас в условии n векторов, поэтому можно попробовать провернуть индукцию.
Подсказка 3
Докажите базу для двух векторов. Как реализовать переход? Выделите слагаемые, в которые входит новый вектор. Как бы сделать там сумму поменьше?
Пусть вектор 
равен вектору 
с выбранным перед ним знаком. Тогда результирующий вектор имеет вид 
Тогда достаточно
показать, что знаки можно выбрать таким образом, что
то есть таким образом, что
Докажем возможность такого выбора индукцией по 
База для 
очевидна: скалярные произведения 
и 
противоположны по знаку, а значит, хотя бы одно из них неотрицательно. Пусть для некоторого 
существует комбинация знаков при
которой верно неравенство 
Заметим, что
Сумма 
фиксирована и не зависит от знака 
следовательно, достаточно положить такой знак 
что произведение
неотрицательно.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
