Длины векторов и скалярное произведение
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На плоскости отмечено несколько точек. Для любых трех из них существует декартова система координат (т.е. перпендикулярные оси и общий масштаб), в которой эти точки имеют целые координаты. Докажите, что существует декартова система координат, в которой все отмеченные точки имеют целые координаты.
Источники:
Подсказка 1
Есть подозрение, что n точек в задаче просто так. Предлагается для начала научиться понимать, почему для четырех точек существует нужная система координат. Как потом добавить в нее все оставшиеся точки?
Подсказка 2
Как подступиться к задаче? Введите в системы координат для точек A, B, C и B, C, D. У них есть общие 2 точки с целыми координатами, поэтому отношение квадратов единиц измерения рационально. Как теперь искать общую систему координат?
Подсказка 3
Получите, что (BC, BD) и (BA, BD) рациональны, после этого у вас будут два каких-то выражения. Выразите из них координату точки D. Докажите, что если она рациональна, то вы решили задачу!
Рассмотрим любые 
точки 
и 
не лежащие на одной прямой (если все точки будут лежать на одной прямой, то утверждение
задачи очевидно). Пусть 
— система координат, в которой эти точки имеют целые координаты.
Рассмотрим любую из оставшихся точек, назовем ее 
Пусть 
— система координат, в которой точки 
имеют целые
координаты. Поскольку квадрат длины отрезка 
в 
и 
будет целым, то отношение квадратов единиц измерения 
и 
—
рациональное число. Но скалярное произведение векторов 
в 
— целое, значит, в 
оно рационально, поскольку
произведение длин этих векторов в 
будет рационально относиться к произведению их длин в 
а косинус угла не
изменится.
Аналогично, 
рационально. Пусть 
в 
это 
это 
это 
Тогда 
и
рациональны, откуда 
рациональные числа (поскольку 
так как 
не лежали на
одной прямой). Следовательно, точка 
в 
имеет рациональные координаты. Тогда, выбрав другую единицу измерения, можно
координаты всех точек сделать целыми.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
