Длины векторов и скалярное произведение
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Выпуклый шестиугольник 
описан около окружности 
с центром в 
Оказалось, что 
и описанная окружность
треугольника 
концентричны. Обозначим через 
основание перепндикуляра из 
на 
Прямая, перпендикулярная 
проходящая через 
пересекает прямую 
в точке 
Пусть 
— основание перпендикуляра из 
на 
Докажите, что
Источники:
Подсказка 1
Для начала хочется заметить любые факты на картинке. Что можно искать? Что можно отметить? Для начала можно отметить все касания окружности со сторонами. Постарайтесь найти какие-нибудь перпендикулярные прямые и пересекающиеся в одной точке 3 прямые. Что делать дальше?
Подсказка 2
Найдите прямые перпендикулярные BO, а так же пару прямых, пересекающуюся на DF, полезно вспомнить про полюс и поляру. Как теперь можно ввести векторы?
Подсказка 3
Введите векторы OY, для всех точек Y, которые участвуют в какой-нибудь перпендикулярности. Через эти векторы перепишите все условия и вопрос задачи, если сделать все правильно, то у вас обязательно решится задача.
Обозначим точки касания 
и 
с 
через 
и 
соответственно. Заметим, что
Симметрия относительно 
отображает 
в 
следовательно, 
в 
и, следовательно, также 
в 
Таким образом, обе
прямые 
и 
перпендикулярны 
следовательно, они параллельны. С другой стороны, прямые 
и 
не
параллельны, так как в противном случае шестиугольник 
симметричен относительно прямой 
и прямой,
определяющие точку 
совпадают, что противоречит условию. Поэтому мы можем рассмотреть точку 
пересечения 
и
Далее напомним известный факт, что точки 
лежат на одной прямой. Действительно, 
— это полюс прямой 
— полюс
поэтому все эти точки принадлежат поляре точки пересечения 
и 
Рассмотрим систему координат, в которой 
является началом координат и отождествим каждую точку (скажем, 
с вектором 
Далее, мы полагаем, что для любых двух точек 
и 
Поскольку 
и 
имеем 
Далее, условие 
можно записать как
Сложив эти два равенства, получим
Из симметрии имеем 
Вычитая из предыдущего уравнения, получим 
Переписывая его в векторной форме, получим
Наконец, проецируя векторы 
и 
на прямые 
и 
соответственно, мы можем переписать это равенство в терминах длин
отрезков как 
следовательно, 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
