Длины векторов и скалярное произведение
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На плоскости нарисованы два квадрата 
и 
(их вершины перечислены против часовой стрелки). Докажите, что середины
отрезков 
, 
, 
и 
являются вершинами квадрата.
Подсказка 1
Давайте подумаем, как можно доказать, что четырёхугольник является квадратом. Например, если доказать, что две соседние стороны равны и перпендикулярны, а потом сделать то же самое для других пар соседних сторон, то мы получим требуемое.
Подсказка 2
Реализовать задуманное можно через векторы. Если выразить векторы, соответствующие сторонам четырëхугольника, через векторы, про которые мы знаем побольше информации, а именно векторы сторон двух квадратов, то всё должно получиться.
Сформулируем и докажем следующюю лемму.
Лемма. Дан четырехугольник 
, точки 
середины соотвественно сторон 
и 
, тогда
Доказательство. Имеем
Аналогично
.png)
Поскольку 
и 
, то, сложив полученные равенства и поделив на 2, получим требуемое.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Вернемся к доказательству исходной задачи. В силу леммы, имеем
Векторы 
и 
получаются из векторов 
и 
поворотом на 
Поэтому из приведенных выше равенств следует, что
вектор 
получается из вектора 
поворотом на 
то есть отрезки 
и 
равны и перпендикулярны. Аналогично, любые две
стороны в четырехугольнике 
равны и перпендикулярны.
.png)
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
