Тема Треугольники и их элементы

Ортоцентр и его свойства

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела треугольники и их элементы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 61#91988Максимум баллов за задание: 7

В неравнобедренном остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA 1$ и $CC 1$ , $H$ — точка пересечения высот, $O$ — центр описанной окружности, $B0$ — середина стороны $AC$ . Прямая $BO$ пересекает сторону $AC$ в точке $P$ , а прямые $BH$ и $A1C1$ пересекаются в точке $Q$ . Докажите, что прямые $HB0$ и $P Q$ параллельны.

Источники: Всеросс., 2008, ЗЭ, 10.6(см. olympiads.mccme.ru)

Показать доказательство

По свойству ортоцентра $HB 0$ пересекает описанную около $ABC$ окружность в точке, диаметрально противоположной вершине $B.$ Назовём эту точку $′ B .$

$PIC$

По свойству ортоцентра $△ABC ∼△A1BC1.$ Диаметры $BH$ и $BB ′$ описанных около подобных треугольников окружностей относятся так же, как отрезки $BQ$ и $BP$ , соединяющие вершину соответственного треугольника с точкой пересечения диаметра описанной окружности со стороной.

Итак, по обратной теореме Фалеса $BQ :BP = BH :BB′ =⇒ PQ∥HB ′.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 62#94096Максимум баллов за задание: 7

Прямая, соединяющая центр описанной окружности и точку пересечения высот неравнобедренного треугольника, параллельна биссектрисе одного из его углов. Чему равен этот угол?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть биссектриса, упомянутая в условии, пересекает окружность в точке K. Что можно сказать о прямой ОК, где О — центр описанной окружности?

Подсказка 2

Конечно, она перпендикулярна одной из сторон треугольника! А ещё стороне всегда перпендикулярна высота, проведенная к ней. Так это же параллельность! А если ещё вспомнить про параллельность из условия, то можно получить какую-нибудь известную фигуру.

Подсказка 3

Две параллельности — это параллелограмм! Одна из его сторон — радиус. Попробуйте выразить противоположную сторону через радиус и угол, тогда, приравняв эти стороны, Вы сможете найти данный угол.

Показать ответ и решение

Пусть $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC,$ $H$ — его ортоцентр, и прямая $OH$ параллельна биссектрисе угла $C.$

Так как эта биссектриса пересекает описанную окружность в середине $′ C$ дуги $AB,$ несодержащей $C,$ $′ OC ⊥AB.$ Следовательно, четырехугольник $′ OC CH$ — параллелограмм и $′ CH = OC = R.$

С другой стороны, из свойств ортоцентра диаметры описанных окружностей около соответствующих подобных треугольников относятся с коэффициентом подобия $CH- 1 |cos∠C |= 2R = 2,$ значит, $∠C$ равен $∘ 60$ или $∘ 120 .$

Но в первом случае по свойству ортоцентра лучи $CO$ и $CH$ симметричны относительно биссектрисы $∠C,$ так что прямая $OH$ не может быть параллельна этой биссектрисе. Следовательно, подходит только $∘ ∠C =120$ (в этом случае свойство ортоцентра про симметрию тоже выполнено, но симметричны уже прямые, а не только лучи).

$PIC$

Ответ:

$120∘$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания