Отношение отрезков в стерео: подобие, Фалес, Менелай

Первое решение.

Пусть пересекает и в точках и соответственно (то есть Тогда по условию и Пусть — середина Тогда пирамида симметрична относительно плоскости Поскольку пересекает ребро в середине, то в силу симметрии эта плоскость пересекает тоже в середине, поэтому

Пусть — середина Тогда так как Тогда, поскольку то и параллельны. Аналогично можно доказать, что и параллельны. Таким образом, и — параллельные плоскости, поэтому требуемый в задаче угол равен углу между и

Так как по условию и перпендикулярны, то и перпендикулярны, то есть и перпендикулярны Снова применив соображение симметрии, получаем, что то есть — равнобедренный, и — его высота, поскольку является серединой Так как — правильный треугольник (по условию — правильная пирамида), то — тоже высота в треугольнике Таким образом, лежит в плоскости и перпендикулярно а лежит в плоскости и перпендикулярно Эти плоскости пересекаются по прямой Таким образом, нужный угол по определению равен

Пусть Тогда так как — середина По теореме Пифагора из треугольника получаем По теореме Пифагора из треугольника получаем С другой стороны, по теореме Пифагора из треугольника имеем Таким образом, то есть

Так как и перпендикулярны, то и перпендикулярны. Из прямоугольного треугольника

Таким образом,

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Пусть пересекает в точке — в точке Пусть Тогда из условия следует, что так как — середина поэтому

По теореме Менелая для треугольника и прямой

Таким образом, поэтому Пусть По теореме Менелая для треугольника и прямой

Таким образом, Так как по условию является перпендикуляром к плоскости то и перпендикулярны. Тогда по теореме Пифагора из треугольника получаем То есть По теореме Пифагора для треугольника

Таким образом, Пусть — основание высоты пирамиды Углы между плоскостями равны углам между перпендикулярами к ним, поэтому

Из прямоугольного треугольника получаем Так как — точка пересечения медиан правильного треугольника то Тогда

Таким образом,

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Третье решение.

Пусть искомый угол это Обозначим пересечение плоскости с ребрами точками соответственно. — середина ребра следовательно, тоже середина ребра, так как пирамида правильная. По условию Обозначим длину как тогда получаем, что

В треугольнике

Тогда по теореме косинусов для треугольника получаем

Обозначим середину ребра точкой Тогда треугольник правильный, так как треугольник правильный, а также плоскость параллельна плоскости основания. — средняя линия в треугольнике следовательно, Обозначим точкой середину В треугольнике

так как треугольник правильный.

Так как плоскость параллельна плоскости основания, то найдем угол между этой плоскости и плоскости

Так как — середина, то В прямоугольном треугольнике находим, что

Тогда