Сферы → .03 Сечение шара плоскостью

В задаче речь идет о трехгранном угле с вершиной в центре сферы, высекающем на сфере криволинейный треугольник. Площадь этого треугольника требуется выразить через радиус сферы и данные в условии плоские углы трехгранного угла, которые будем обозначать

Рассмотрим сначала две различные плоскости, проходящие через центр сферы. Пусть угол между этими плоскостями равен Плоскости пересекают сферу по большим окружностям. Касательные к окружностям в их точке пересечения также образуют угол Площадь поверхности сферы равна Площадь высекаемой плоскостями «дольки» (указанной на рисунке цветом) очевидно пропорциональна величине и равна

Три плоскости (содержащие грани трехгранного угла) разбивают сферу на треугольников. Искомую площадь криволинейного треугольника обозначим через а его углы (которые, очевидно, являются двугранными углами трехгранного угла за Площади криволинейных треугольников, примыкающих к сторонам треугольника обозначим С каждым из этих треугольников образует «дольку», поэтому Оставшиеся из -х нерассмотренных криволинейных треугольников симметричны -м рассмотренным относительно центра сферы. Значит, суммарная площадь рассматриваемых четырех треугольников равна половине площади сферы, то есть Тогда сложим первые три уравнения и воспользуемся четвертым:

Из теоремы косинусов для трехгранного угла

Отсюда получаем ответ.

Проведём сечение описанной композиции плоскостью, проходящей через центры трех сфер. Искомое расстояние будет длиной отрезка на этой плоскости.

Пусть радиусы малых окружностей равны и Тогда радиус наибольшей (внешней) равен (дано: ). Рассмотрим Его стороны равны и следовательно, он прямоугольный.

Обозначим точку пересечения искомой хорды с отрезком через а с отрезком через Опустим из центра наибольшей окружности перпендикуляр на искомую хорду (отрезок общей касательной). Тогда искомая хорда делится точкой пополам и перпендикулярна отрезкам и

Прямоугольные треугольники подобны. Поэтому , откуда и

Далее, откуда

Первое решение.

Рассмотрим сечение шара, которое задаётся двумя пересекающимися в точке хордами и . Эта плоскость перпендикулярна каждой из плоскостей, заданных аналогично другими парами хорд, по признаку перпендикулярности плоскостей (каждая из них содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости). Тогда они образуют “координатные плоскости” для осей прямоугольной системы координат, направленных вдоль хорд. По пространственной теореме Пифагора сумма квадратов проекций отрезка на оси равна квадрату длины отрезка , а сумма квадратов проекций отрезка на плоскости равна

Итак, рассматриваемое сечение шара является окружностью, обозначим её центр за . Известно, что перпендикуляры и из центра на хорды попадут в середины соответствующих хорд. Если обозначить , то по теореме Пифагора . Заметим, что как радиусы окружности. Если сложить равенства, получаем:

Учтём, что . Так как — проекция на плоскость, то складывая аналогичные равенства для двух других координатных плоскостей, получаем

Второе решение.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед, рёбра которого параллельны данным хордам, а точка и центр шара являются его противоположными вершинами. Пусть и - длины его рёбер; ясно, что a) Если хорда удалена на расстояние от центра шара, то квадрат её длины равен . Так как расстояния от данных хорд до точки равны диагоналям граней параллелепипеда, то искомая сумма квадратов равна

Пусть - середины рёбер соответственно. Из теоремы о средней линии треугольника следует, что и - параллелограммы. Они вписаны в окружности, являющиеся сечениями сферы плоскостями и , поэтому эти параллелограммы - прямоугольники. Угол — прямой; прямые и перпендикулярны, так как

Отметим в плоскости точку такую, что а точки и лежат по разные стороны от прямой (треугольник может быть получен из треугольника поворотом вокруг прямой

Из равенства треугольников и следует, что основания их высот, опущенных на — это одна и та же точка (назовём её Плоскость перпендикулярна (так как поэтому Поскольку и то плоскость перпендикулярна и

Значит, диагонали четырёхугольника пересекаются под прямым углом (в точке ). По теореме Пифагора

Следовательно,

Из прямоугольного треугольника находим

Радиус сферы, описанной около пирамиды , не меньше радиуса окружности, описанной около грани . Пирамида, для которой достигается равенство, существует. Докажем это.

Рассмотрим сферу радиуса и окружность - её сечение, проходящее через центр сферы. В сечении сферы указанной плоскостью получится окружность с диаметром , в которую можно вписать прямоугольный треугольник . По теореме косинусов из треугольника находим, что

По теореме синусов

Заметим, что точки лежат и на сфере с центром в точке и в одной плоскости. Следовательно, они лежат на окружности являющейся пересечением сферы с плоскостью. Пусть — центр этой окружности. Тогда перпендикулярно плоскости основания и любая точка на прямой равноудалена от всех точек окружности Поэтому на найдётся и такая точка для которой Тогда на сфере с центром в точке и радиусом лежат все вершины пирамиды, а также все окружности

Следовательно, на этой сфере лежат все точки и Пусть — точка на сфере диаметрально противоположная точке Покажем, что описанные окружности треугольников проходят через точку Поскольку точки и лежат на сфере, достаточно проверить, что они лежат на сфере, достаточно в одной плоскости. Эта плоскость перпендикулярна прямой и проходит через точку В самом деле, поскольку они опирается на диаметр сферы и поскольку они опираются на диаметры и описанных окружностей треугольников и

Центр сферы равноудалён от точек на её поверхности, а раз по условию вершины основания принадлежат сфере, то центр сферы является центром описанной около основания окружности.

Пусть сфера пересекает ребро в точке . Тогда равны радиусы Опустим перпендикуляр к ребру , он является медианой равнобедренного треугольника Обозначим сторону основания через и пусть угол Пусть основание перпендикуляра, проведенного из точки на сторону

Находим из правильного треугольника в основании , а так как это линейный угол двугранного угла и равен , то

Также заметим

Тогда получаем

(так как

В итоге так что сфера делит в отношении

Обозначив точку пересечения с плоскостью через , получим . В пересечении сферы с плоскостью получается некоторая окружность. Проведём через диаметр этой окружности.

Тогда и — хорды сферы, и по свойству пересекающихся хорд: . Так как , то минимальный радиус окружности больше или равен и значение достигается при , то есть центр этой окружности. Так как , то При этом Значит,

Обозначим через радиус шара, а через и — середины рёбер и соответственно. Плоскость есть центральное сечение шара. Пусть — высота цилиндра, тогда радиус его основания равен . Пусть — точка пересечения отрезков и . Справедливы соотношения , где центр шара. Если — проекция точки на основание цилиндра, то из подобия прямоугольных треугольников и получаем

Тогда

Значит, . Площадь боковой поверхности