Сферы → .04 Касательные к сфере (+ каркасный тетраэдр)

Пусть — нижнее, а -— верхнее основание данной усечённой пирамиды; и — центры этих оснований (соответственно); и — середины рёбер и (соответственно). Из теоремы о равенстве отрезков касательных, проведённых к шару из одной точки, следует, что

и

следовательно,

Но , то есть

Поэтому данная в условии усечённая пирамида треугольная. Обозначим длину ребра нижнего основания через , верхнего — через . Так как шар касается всех рёбер пирамиды, её боковая грань — описанная равнобокая трапеция с основаниями и .

Радиус вписанной окружности найдем из прямоугольного треугольника :

, следовательно, . Но

поэтому

Имеем , откуда так как . Значит,

Пусть в основании пирамиды лежит 2024-угольник , точка — вершина пирамиды. Пусть для всех , сфера касается ребер в точке , а ребер в точке ().

Рассмотрим треугольник . Сечением сферы в его плоскости является вписанная в него окружность, которая касается его сторон в точках , , . Пусть

Из теоремы косинусов имеем

Как известно,

По условию достаточно показать, что произведения квадратов половинных синих и половинных красных углов равны. Но из равенства выше каждое из таких произведений равно произведению отношений для всех , что доказывает исходное равенство.

Введём декартову систему координат с центром в точке , ось абсцисс — луч , ось ординат — луч , ось аппликат — луч .

Пусть — проекция центра сферы на грань куба. Определим ее местоположение. Так как сфера касается прямых и проходит через точку , то расстояние от точки до прямых и и точки одинаково (обозначим его ). Тогда лежит на луче , который является биссектрисой угла . Осталось учесть условие, что центр сферы касается прямой , то есть нужно проверить, что расстояние от центра до прямой совпадает с радиусом сферы .

Заметим, что есть два случая расположения точки (на рисунке показаны разными цветами):

Случай 1: точка лежит на диагонали .

Тогда из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника получим: , откуда . Значит, центр сферы имеет координаты .

Расстояние до прямой равно . То есть радиус

Случай 2: точка лежит на продолжении луча .

Тогда из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника получим: , откуда . Значит, центр сферы в этом случае имеет координаты .

Расстояние до прямой равно . То есть радиус

Пусть дана призма — центр данной сферы, которая касается боковых рёбер и в точках и

Заметим, что и следовательно А раз и все четыре точки лежат в одной плоскости, то и — прямоугольник, значит, при этом как диаметр данной сферы.

Рассмотрим треугольник и найдём высоту По формуле Герона тогда

Проецируем на нижнее основание, обозначим проекцию на она будет являться серединой Пусть — точка касания сферы с а — её проекция на нижнее основание.

Раз , то в силу ТТП и свойств проекции Тогда — средняя линия в треугольнике следовательно

Рассмотрим прямоугольную трапецию в ней и Пусть тогда по теореме Пифагора

Теперь зная это, посчитаем объём призмы

а)

Поскольку — касательная к сфере а и — секущие к ней, то по теореме о касательной и секущей

Аналогично,

А поскольку то

В итоге получаем

Так как как касательные к сфере проведённые из точки то

А поскольку медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении считая от вершины, то

Кроме того,

При этом

то есть

Отсюда прямоугольный и Далее имеем

Значит,

б)

Пусть и — проекции точек и на прямую соответственно. Заметим, что потому что и — точки касания сферы со сторонами двугранного угла пирамиды при ребре Поэтому искомый угол равен

где — центр сферы

Далее имеем

Так как как касательные к то

Отсюда получаем

Из подобия и имеем

Окончательно,

Пусть — середина ребра тогда Т.к. — куб, по теореме Пифагора из прямоугольного получаем

— середина а — середина следовательно, как средняя линия квадрата равна т.е. равна Т.к. — куб, по теореме Пифагора из прямоугольного получаем

Пусть — середина ребра тогда Т.к. сфера вписана в каркас куба значит, точками касания являются середины рёбер. Следовательно, используем теорему о касательной и секущей

Пусть — основание пирамиды, — вершина, — центр треугольника — середина — центр описанной сферы, — центр вписанной сферы. Поскольку точка равноудалена от и — биссектриса треугольника Стало быть,

Поскольку имеем откуда Для треугольника имеем откуда Поскольку — биссектриса, Стало быть, откуда

Касательные, проведенные из одной точки к сфере, равны. Значит, и . Следовательно, треугольники и равны по трем сторонам.

Угол прямой, так что высота треугольника , опущенная из вершины , попадает на сторону Из равенства треугольников и следует, что . Ясно, что плоскость содержит центр сферы.

В прямоугольном треугольнике известны катет и гипотенуза Отсюда легко найти, что . Из теоремы Пифагора для треугольника находим, что (ибо , а угол по условию прямой). Кроме того, из следует, что

В прямоугольном треугольнике мы нашли катет и высоту . Осталась тривиальная планиметрическая задача нахождения катета , равного радиусу сферы.

Поскольку сфера касается всех рёбер, пирамида обладает тем свойством, что , откуда получаем , следовательно, треугольник равносторонний. Тогда треугольник тоже равносторонний, поэтому

Найдём объём пирамиды как правильной пирамиды с основанием

Поскольку

окончательно получаем

Расстояния от вершины до точек касания сферы с рёбрами равны. Обозначим это расстояние . Соответствующие расстояния от вершин обозначим , соответственно.

По условию , что равносильно после раскрытия скобок системе

Если , то , а это не так. Значит, . Тогда либо , либо . Если , то , что противоречит неравенству треугольника. Значит, и, стало быть,

Замечание.

Тетраэдр, у которого произведения длин скрещивающихся рёбер равны, называется каркасным, можете поизучать его свойства. В задаче по сути просили доказать, что у такого тетраэдра суммы длин скрещивающихся рёбер равны.

Высота призмы и боковое ребро равны (диаметру вписанного шара). Основания призмы являются правильными -угольниками, описанными около окружностей радиуса Согласно известной формуле, сторона основания в этом случае равна Поверхность шара, касающегося рёбер призмы, пересекает каждую из граней по окружности. Это значит, что прямоугольники, служащие боковыми гранями, описанные, а потому являются квадратами. Отсюда и

Таким образом, призма представляет собой куб

а) Пусть радиус сферы равен . Обозначим точки пересечения прямой со сферой через и (точка лежит на отрезке , а — вне него). Треугольники и прямоугольные (углы при вершинах прямые, так как касательные перпендикулярны радиусам, проведённым в точку касания). Эти треугольники равны по катету и гипотенузе — общая), следовательно, (обозначим эти углы через ); высоты, опущенные из точек на гипотенузу , равны, а их основания — одна и та же точка , лежащая в плоскости (назовём эту плоскость . Пусть — касательная плоскость к сфере, проведённая через точку . Обозначим точку пересечения и через . Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью

Из прямоугольного треугольника получаем . Тогда

Пусть площадь сечения пирамиды плоскостью равна , а плоскостью . Из подобия следует, что

Следовательно,

б) Если плоскости и параллельны, то точка совпадает с точкой такой, что

Тогда, обозначив площадь треугольника через , получаем

Обозначим тетраэдр центр сферы, вписанной в каркас — а саму сферу — Объём тетраэдра равен сумме объёмов маленьких тетраэдров и

Пересечение и плоскости это вписанная окружность треугольника Обозначим за её центр, тогда — высота тетраэдра Пусть — радиус сферы — радиус вписанной окружности треугольника Тогда выполняется равенство Тогда

где — полупериметр треугольника По неравенству о среднем геометрическом и среднем квадратичном получаем

то есть

Таким образом,

Складывая объёмы четырёх маленьких тетраэдров, получаем

а сумма полупериметров граней это в точности сумма длин рёбер тетраэдра. Значит,

Пусть — центр сферы — основания перпендикуляров, опущенных из точки на ребра соответственно; — высота пирамиды и — радиусы сфер и соответственно.

a) Поскольку точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку она равноудалена от концов этого отрезка, т.е. Аналогично и Значит, поэтому точка является центром сферы . Следовательно, расстояние между центрами сфер равно нулю.

b) Из равенства прямоугольных треугольников , и — общая сторона) следует, что Поскольку точки — это середины боковых рёбер пирамиды, отсюда получаем, что боковые рёбра равны между собой. Тогда высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания (действительно, по катету и гипотенузе, откуда ). Но в пирамиде боковые рёбра также равны между собой как радиусы сферы ; значит, и её высота, проведённая из вершины проходит через центр окружности, описанной около основания. Таким образом, высота пирамиды проходит через точку Кроме того, точка является центром окружности, описанной около основания. Поскольку треугольник прямоугольный, — это середина гипотенузы Так как отрезок перпендикулярен плоскости основания, он равен радиусу сферы

Для нахождения соотношения между радиусами рассмотрим прямоугольный треугольник Точка — середина гипотенузы на катете находится точка причём , Треугольники , и равны по катету и гипотенузе, следовательно, Значит, Тогда из треугольника находим, что

c) поэтому треугольник — равносторонний, B равнобедренном треугольнике известны боковые стороны и угол при основании Отсюда находим, что . По теореме Пифагора для треугольника находим, что поэтому объём пирамиды равен

Обозначим Пусть и проекции точки на прямые и соответственно. Пусть — радиус сферы.

Так как — перпендикуляр к плоскости , а то по теореме о трёх перпендикулярах получаем . Аналогично Из равенства прямоугольных треугольников и следует, что Из равенства прямоугольных треугольников и так как получаем, что Тогда Кроме того, из равенств отрезков касательных, проведённых к сфере из точки следует, что Для нахождения и выразим из треугольников и Так как и то где Следовательно, откуда получаем

T. e. Тогда .