Тела вращения → .02 Конус

Кратчайшим путём вокруг горы на развёртке конуса будет отрезок . Точка — ближайшая к вершине , а значит — высота в треугольнике . Длина окружности основания равна . , поэтому

Итак, в треугольнике известны длины сторон и , а надо найти . По теореме косинусов

По теореме синусов

откуда

Наконец, треугольник прямоугольный и

Обозначим радиус шара через радиус основания конуса через а высоту конуса — через Тогда объём конуса равен

Объём шара

Отношение этих объемов равно

Можно считать, что верхняя точка шара находится на поверхности воды, иначе воды выльется ещё меньше.

Из подобия прямоугольных треугольников и имеем

Возведем равенство в квадрат, получим

Значит, отношение объёмов равно

где Максимум этой функции достигается в вершине параболы, то есть при и составляет

Заметим, что максимум достигается при при этом

Пусть точка — центр , а — центр окружности основания конуса. . Продлим стороны до пересечения в точке . Введём прямоугольную декартовую систему координат, как на рисунке: — начало координат, ось направим вдоль , вдоль , вдоль .

Сделаем гомотетию с центром в точке так, чтобы центр окружности перешёл в точку . Сама же точка

Найдём уравнение плоскости , содержащую окружность конуса с центром в точке . Так как — служит осью конуса, то в качестве вектора нормали возьмём .

Так как , то

Найдём уравнение плоскости :

Возьмём в качестве , тогда получим

Найдём уравнение прямой :

Сложив первое уравнение, умноженное на , со вторым и, выразив , получим . Откуда можно подставить в первое уравнение и выразить . Тогда уравнение прямой в параметрическом виде:

Её направляющий вектор .

Пусть — точка касания окружности с плоскостью , тогда лежит на прямой , , :

Тогда

Уравнение плоскости :

Найдём уравнение прямой :

Подставляя во второе уравнение и выражая x, получим параметрическое уравнение прямой :

Её направляющий вектор .

Пусть — точка касания окружности с плоскостью , тогда лежит на прямой , ,

В силу симметрии картинки относительно плоскости , если окружность касается плоскости , то она будет касаться и плоскости , поэтому для касания всех трёх плоскостей, содержащих граней необходимо и достаточно выполнения уравнения:

Тогда

Рассмотрим

Пусть — центр окружности основания конуса, радиуса - центр одного из шаров радиуса — точка касания этого шара с плоскостью основания, — точка касания соседнего шара с плоскостью основания конуса. Значит, из треугольника можем получить

Так как каждый шар касается двух соседних, то точки касания этих шаров с плоскостью основания конуса расположены в вершинах правильного 11-угольника вписанного в окружность с центром в точке радиуса и стороной, равной Поэтому

а) Зона покрытия — часть сферы, лежащая внутри конуса. , где — высота сегмента. , здесь угол — угол между радиусом ОГ и линией ОА, соединяющий центр сферы с центром окружности, которая является линией пересечения сферы и конуса.

Тогда площадь равна

б) Пусть О — центр сферы, В — точка касания первой и второй окружности, А и их центры этих окружностей, — точки пересечения радиусов со сферой. Обозначим — угол между ОЗ и ОВ. Тогда

В правильной пирамиде О плоские углы при вершине равны двугранный угол при ребре О3 равен Опустив перпендикуляры из точек и на ребро О3 в точку H, треугольники О и О равны (по трем сторонам), т.к. две стороны равны а третья

Пусть наблюдатель находится в точке — линия пересечения плоскости горизонта и плоскости орбиты. Спутник проходит над головой наблюдателя.

При движении спутника из точки в точку С по дуге окружности, его проекция на Землю двигается из точки в точку Угловая мера этой дуги равна величине центрального угла. Учитывая симметрию, получим время наблюдения

Угол находим из прямоугольного треугольника

следовательно, мин.

Угол обзора участка Земли с орбиты равен углу или градусов.

Противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, так что он параллелограмм. Поскольку плоскость пересекает плоскости и по параллельным прямым и , эти прямые параллельны прямой пересечения этих плоскостей, то есть . Аналогично, . В правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся рёбра перпендикулярны друг другу, поэтому , а прямоугольник. Следовательно, радиусы окружностей и равны

Отсюда также следует, что прямоугольник симметричен относительно плоскости , содержащей ребро и середину . Тогда и конусы и также симметричны относительно этой плоскости. Поэтому — середина .

Обозначим через и середины сторон и соответственно, а через и центры окружностей и соответственно; эти четыре точки лежат на оси симметрии прямоугольника , параллельной , а значит — в плоскости . Более того, , то есть треугольники и подобны.

Пусть . Тогда . Поскольку , из подобия получаем

Аналогично,

C другой стороны, так как конус прямой, имеем , причём . Отсюда

Итак, , и из подобия имеем

откуда и . Пусть пересекает в точке . Тогда — высота треугольника , причём (поскольку ) . Значит, . Поскольку — прямоугольник, так что . Отсюда .

Пусть центр основания радиуса — точка , точка рядом , а — вершина конуса. Пусть также пересекает окружность в . Касательные плоскости содержат касательные из к окружности, пусть это и . Легко видеть, что и и есть искомые плоскости, проведём в этих треугольниках высоты к , которые в силу симметрии упадут в одну точку . Тогда наша задача сводится к поиску .

Итак, будем искать отрезки и . По теореме об отрезках касательной и секущей

Здесь мы просто посчитали площадь прямоугольного треугольника двумя способами. Теперь заметим, что , поскольку две прямые ей перпендикулярны, откуда , то есть , как прямоугольные с общим углом. Имеем

В итоге .

Пусть высота и радиус исходного конуса равны и , а высота и радиус цилиндра равны и . Воспользуемся формулой для объема усеченного конуса: . Также мы знаем, что . Поделив соответствующие части равенств получаем

Решая квадратное уравнение, получаем корни и геометрический смысл имеет только положительный. , откуда получаем для исходного конуса:

Центры шаров образуют правильный тетраэдр. Угол между высотой и боковым ребром рассчитается и совпадает с углом между высотой и образующей конуса, а также с углом между радиусом упомянутой в условии окружности и радиусом 4-го шара, проведенными в одну точку.

Пусть — указанный угол. Тогда Пусть — радиус окружности в плоскости касания конуса четвертым шаром. Образующая собирается из кусочков:

1) (от вершины конуса до точки касания конуса четвертым шаром);

2) где — радиусы шаров (расстояние между двумя точками касания — нижнего и верхнего шаров соответственно);

3) ( расстояние от основания конуса до точки касания нижнего шара).

Заметим, что следовательно, и

Итого

Объем конуса

После всех подстановок и упрощений получаем

Пусть — общая вершина рассматриваемых конусов, и — их оси. Обозначим через и их общие образующие и через искомый угол . Описанная в задаче конфигурация имеет две плоскости симметрии: одна — — содержит оси конусов, другая — — содержит их образующие. Тогда эти плоскости перпендикулярны. Пусть — прямая их пересечения.

Обозначим через угол при вершине в осевом сечении каждого из конусов. Так как является образующей для конуса с осью и наоборот, то . Кроме того,

Точки можно выбирать произвольно на прямых Будем считать, что точки лежат в некоторой плоскости, перпендикулярной прямой и расположенной на расстояние от вершины . Тогда из пирамиды , в которой все плоские углы при вершине прямые, имеем

Тогда по теореме косинусов для треугольников и

Приравняем эти выражения, сократим на и применим основное тригонометрическое тождество в виде

Мы знаем, что , поэтому