Тела вращения → .01 Цилиндр

Пусть — середина и — медианы равнобедренных треугольников и , a значит, биссектрисы и высоты. То есть . Значит, отрезок перпендикулярен плоскости , следовательно, .

Таким образом, лежит в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра (обозначим эту плоскость через ). Сечение цилиндра этой плоскостью — окружность, а является хордой этой окружности. Тогда радиус цилиндра минимален, если диаметр. Отметим, что это возможно в силу того, что отрезки и длиннее, чем . Действительно, из треугольников и следует, что

Рассмотрим тетраэдр, в котором является диаметром цилиндра. Возможны 2 случая: точки и лежат по одну (этот случай представлен выше) или по разные стороны плоскости .

Пусть - проекция точек и на плоскость . Угол , так как он вписан в окружность и опирается на её диаметр. в силу равенства треугольников и . Тогда . По теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках и соответственно: .

Тогда, если точки и лежат по одну сторону от плоскости , то . Если точки и лежат по разные стороны от плоскости , то .

Доказано, что 𝐴𝐵 – диаметр цилиндра наименьшего радиуса – 2 балла; если при этом не проверено, что точки 𝐶 и 𝐷 могут лежать на боковой поверхности такого цилиндра (например, можно доказать, что треугольники 𝐴𝐵𝐶 и 𝐴𝐵𝐷 остроугольные; можно сделать, как в решении), то 1 балл вместо 2;

найдены оба значения 𝐶𝐷 – 3 балла;

найдено только одно значение 𝐶𝐷 – 1 балл вместо 3.

Используя скалярное произведение, легко показать, что косинус угла между главной диагональю (осью луча) и любым ребром куба равен . Такое же значение имеет косинус угла между осью луча и нормалью к любой грани куба.

Изобразим проекцию куба на плоскость, перпендикулярную оси луча. Площадь проекции на эту плоскость любой плоской фигуры, расположенной на какой-либо грани куба, равна площади самой фигуры, умноженной на косинус угла между гранью и плоскостью проекции, т. е. на . Поэтому, вычислив площадь проекции освещённого участка куба и умножив её на , мы получим требуемый ответ.

Длина проекции любого ребра равна произведению длины ребра на косинус угла между ребром и плоскостью проекции или на синус угла между реброми осью луча, т. е. В случае, когда радиус луча не превышает радиуса вписанного в изображённый правильный шестиугольник окружности, проекция освещённого участка имеет площадь, равную Радиус вписанной в шестиугольник окружности равен Таким образом, при площадь освёщенного участка равна Если радиус больше или равен радиусу описанной около шестиугольника окружности, то полностью освещены три грани куба, т. е. при площадь освещенного участка равна Рассмотрим случай Площадь проекции освещённого участка получается вычитанием из шести площадей сегментов, вылезающих за шестиугольник. Площадь каждого такого сегмента равна разности площадей соответствующих сектора и треугольника. Угол сектора равен Поэтому площадь сегмента равна

где а площадь освещённого участка равна

Отметим, что соотношение равносильно неравенству определяющему -й рассматриваемый случай. По условию имеем имеем

Обозначим через радиус шара, а через и — середины рёбер и соответственно. Плоскость есть центральное сечение шара. Пусть — высота цилиндра, тогда радиус его основания равен . Пусть — точка пересечения отрезков и . Справедливы соотношения , где центр шара. Если — проекция точки на основание цилиндра, то из подобия прямоугольных треугольников и получаем

Тогда

Значит, . Площадь боковой поверхности