Экстремальные задачи в стерео

За будем обозначать плоскость, проходящую через точки , и

Возьмем на прямой такую точку , что . Тогда

На прямой же возьмём точку такую, что . Получается, что плоскость Тогда лежит в плоскости . пересекает плоскость основания по прямой (), параллельной

Пусть . Тогда , . Треугольник будет правильным (есть 2 угла по ), т.е. .

т.к. это 2 угла с параллельными сторонами.

Рассматриваем треугольник . . Подставляем найденные значения.

Минимум выражения слева достигается при и равно . Тогда

Пусть — центр описанной окружности треугольника , лежащий на — центр сферы. Очевидно, — середина . Так как точки и лежат на сфере, перпендикулярно плоскости . С другой стороны, и — это одна и та же прямая, а перпендикулярна плоскости . Значит, плоскости и параллельны, а тетраэдры и подобны.

Пусть — длина , то есть высота маленького тетраэдра. Высота большого тетраэдра равна , а коэффициент их подобия .

- прямоугольный треугольник с прямым углом , значит, радиус описанной окружности треугольника , то есть , равен

Как известно, среди всех треугольников, вписанных в данную окружность, наибольшую площадь имеет равносторонний. Для окружности радиуса эта площадь составляет

Значит, объемы тетраэдров составляют

и

а их произведение равно

Чтобы максимизировать эту величину, достаточно максимизировать

В первой точке достигается минимум, равный нулю, а во второй — максимум. Подставив в формулу для объёма, получим

Обозначим радиус шара через радиус основания конуса через а высоту конуса — через Тогда объём конуса равен

Объём шара

Отношение этих объемов равно

Можно считать, что верхняя точка шара находится на поверхности воды, иначе воды выльется ещё меньше.

Из подобия прямоугольных треугольников и имеем

Возведем равенство в квадрат, получим

Значит, отношение объёмов равно

где Максимум этой функции достигается в вершине параболы, то есть при и составляет

Заметим, что максимум достигается при при этом

Пусть — ребро куба. Рассмотрим множество точек, которому могут принадлежать центры сфер.

Так как каждая сфера касается минимум двух граней куба, тогда центры сфер принадлежат рёбрам куба с ребром , центр которого совпадает с центром исходного куба и грани которого параллельны соответствующим граням исходного куба и находятся на расстоянии от них.

Поскольку сферы попарно касаются друг друга, центры сфер образуют правильный треугольник со стороной . При этом каждой грани куба касается какая-то сфера, поэтому рёбра, на которых лежат центры сфер, в совокупности являются границами всех шести граней куба с ребром .

Введём систему координат с началом в вершине исходного куба и расположим вершины правильного треугольника так, чтобы они находились в трёх скрещивающихся рёбрах меньшего куба, а также находились на расстоянии от некоторых трёх граней исходного куба. Тогда координаты вершин правильного треугольника имеют вид , где , то есть . Нетрудно проверить, что стороны треугольника одинаковы и равны

откуда получаем уравнение, квадратное относительно , имеющее корни:

Так как радиус не может быть больше , и тем более больше , тогда знак невозможен.

Поскольку функция монотонно возрастает, тогда наименьшее значение будет при . В этом случае получим .

Наибольшее значение будет при наибольшем значении . На отрезке функция принимает одинаковое наибольшее значения в точках . Тогда наибольшее значение можно найти из уравнения при . Получим . Так как радиус не может быть больше , тогда знак невозможен.

Заметим, что во втором случае все три сферы касаются трёх граней куба, поэтому радиус сферы больше, чем , быть не может (иначе сферы выйдут за границу куба). А в первом случае центр равностороннего треугольника, образованного центрами трёх сфер, находится в центре исходного куба, поэтому радиус сферы меньше, чем , тоже быть не может.

Наконец, поскольку функция непрерывна на отрезке , то радиус сфер принимает значения на отрезке .

Подставим , тогда получим неравенство . Заметим, что и . Таким образом, единственное возможное натуральное значение — .

Пусть и — середины ребер и соответственно. Из соображений симметрии ясно, что ребрами и отрезками линия, о которой идет речь в условии задачи разбивается на 8 равных. Поэтому достаточно рассмотреть точки, принадлежащие треугольнику .

Пусть - одна из таких точек. Тогда кратчайшим путем между и служит отрезок , а кратчайшим путем между и - двухзвенная ломаная , вершина которой принадлежит ребру (в случае имеем просто отрезок . На развертке тетраэдра объединение граней и представляет собой ромб , а ломаная - отрезок в нем. Условие означает, что лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ; следовательно геометрическим местом точек служит отрезок , где - середина ребра (и середина отрезка ) - точка на отрезке , (см рисунок).

Найдем длину отрезка . Легко видеть, что , а отрезок , будучи средней линией треугольника , имеет длину . Поэтому

Умножив это число на 8, получим ответ к задаче:

Докажем, что при пирамида правильная. Пусть стороны треугольника равны 1. Заметим, что в любом треугольнике с углом против этого угла лежит средняя по длине сторона (причём если она строго меньше одной из сторон, то строго больше другой). Пусть одно из боковых рёбер пирамиды не равно 1: например, . Тогда в гранях и рёбра и будут меньше 1, и значит, в грани ребро — не средняя сторона, противоречие.

Покажем теперь, как построить неправильную пирамиду с плоскими углами при вершине .

Рассмотрим треугольник c и . Так как , на стороне существует такая точка , что . Теперь возьмем трёхгранный угол, у которого все плоские углы равны , и отложим на его ребрах отрезки , , . Пирамида — искомая.

Рассмотрим тетраэдр удовлетворяющий условию задачи. Заметим, что по условию для любой высоты данного тетраэдра справедливо неравенство где — радиус вписанной сферы, то есть

Пусть — площадь грани, на которую опущена высота Докажем, что Предположим противное. Выберем грань минимальной площади (если таких граней несколько, то берём любую из них). Без нарушения общности можно считать, что её площадь равна (иначе можно ввести переобозначения). Так как не все равны между собой и - наименьшая из них, то

Выразим объём тетраэдра двумя способами:

Отсюда что противоречит неравенству

Итак, все равны, поэтому все равны, так как Обозначим за длину этих равных высот. Из приведённого выше соотношения для объёма получаем то есть неравенство обращается в равенство. Но это возможно только в случае, если высота содержит центр сферы и точку касания с гранью (и так для каждой высоты).

Пусть - основание высоты тетраэдра, опущенной из точки Тогда совпадает с точкой касания сферы и грани Пусть тогда по теореме о касательной и секущей По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника получаем

Аналогично получаем такое же выражение для остальных рёбер тетраэдра, следовательно, они равны между собой, то есть тетраэдр правильный.

Сначала необходимо заметить, что кратчайшее расстояние между двумя расположенными на сфере точками по ее поверхности это длина меньшей дуги, проходящей через эти две точки окружности, центр которой совпадает с центром сферы. Отсюда сразу следует первая оценка на радиус сферы: он не может быть меньше, чем В противном случае длина самой большой окружности, расположенной на сфере, меньше, чем , и длина ее меньшей дуги будет меньше, чем что противоречит условию задачи.

Обозначим радиус сферы за ее центр обозначим буквой Рассмотрим две произвольные точки пусть длина дуги равна отметим, что Из сектора и треугольника имеем:

Из этой формулы следует, что периметр треугольника равен:

Рассмотрим функцию одной переменной:

Тогда что положительно при так как
Обратим внимание, что все три слагаемых, входящих в периметр, являются такого сорта функциями, при этом радиус не может быть меньше, чем 5 и, следовательно, величина во всех трех слагаемых принадлежит полуинтервалу Поэтому периметр треугольника является возрастающей функцией параметра и, следовательно, задача сводится к следующей: найти минимальный радиус сферы, на которой могут быть расположены точки удовлетворяющие данным из условия задачи.
Обоснование того, что минимальный радиус равен состоит из двух тезисов. Во-первых, на сфере радиуса расположить три точки в соответствии с условием задачи можно: достаточно взять экватор сферы, его длина равна что равно сумме данных в условии расстояний. Берем произвольную точку на этой окружности, проходим по часовой стрелке расстояние отмечаем точку B, проходим еще отмечаем точку
Во-вторых, на сфере радиуса, меньшего чем 6, точки расположить не получится. Чтобы это доказать, проведем аналогию с глобусом. Представим себе, что точка это северный полюс планеты радиуса 6. Тогда геометрическим местом точек кратчайшее расстояние от которых по сфере до точки равно будет параллель-«экватор», а геометрическим местом точек кратчайшее расстояние от которых по сфере до точки равно будет параллель в южном полушарии. Максимальное расстояние между точкой с «экватора» и точкой с «южной» параллели как раз равно и будет достигаться в случае, когда эти точки расположены на противоположных меридианах. Любые меридиональные смещения одной из точек, очевидно, уменьшат расстояние между ними. Попытка уменьшить радиус сферы-планеты приведет к тому, что параллели, на которых лежат точки и сместятся ближе к южному полюсу, и максимальное из расстояний между точками с этих параллелей (которое по-прежнему достигается в случае их расположения на противоположных меридианах) уже будет менее, чем Итак, минимально возможный радиус сферы равен 6, откуда получаем ответ:

Рассмотрим и . Тогда для произвольной ( получается из поворотом на относительно ). Но отсюда нам надо найти минимум , который достигается только при и будет равен , то есть

Фиксируем момент времени

• — положение муравьёв в момент .
• — проекция точки на диагональ .
• — скорость движения Гоши, — скорость Леши.

Тогда имеем

Наконец,

Движение закончилось, когда последняя скобка занулилась, то есть при . Относительно функция является квадратным трёхчленом с положительным коэффициентом при . Вершина находится в точке . Отсюда .

Пусть - середины рёбер соответственно. Из теоремы о средней линии треугольника следует, что и - параллелограммы. Они вписаны в окружности, являющиеся сечениями сферы плоскостями и , поэтому эти параллелограммы - прямоугольники. Угол — прямой; прямые и перпендикулярны, так как

Отметим в плоскости точку такую, что а точки и лежат по разные стороны от прямой (треугольник может быть получен из треугольника поворотом вокруг прямой

Из равенства треугольников и следует, что основания их высот, опущенных на — это одна и та же точка (назовём её Плоскость перпендикулярна (так как поэтому Поскольку и то плоскость перпендикулярна и

Значит, диагонали четырёхугольника пересекаются под прямым углом (в точке ). По теореме Пифагора

Следовательно,

Из прямоугольного треугольника находим

Радиус сферы, описанной около пирамиды , не меньше радиуса окружности, описанной около грани . Пирамида, для которой достигается равенство, существует. Докажем это.

Рассмотрим сферу радиуса и окружность - её сечение, проходящее через центр сферы. В сечении сферы указанной плоскостью получится окружность с диаметром , в которую можно вписать прямоугольный треугольник . По теореме косинусов из треугольника находим, что

По теореме синусов

Пусть корабль находится в некоторой точке Рассмотрим правильный октаэдр описанный возле шара радиуса с центром в точке Докажем, что путь заведомо позволит достигнуть граничной плоскости.

Предположим противное. Тогда вершины октаэдра, а значит, и сам октаэдр (выпуклая оболочка его вершин) лежат строго внутри полупространства. Поэтому вписанный шар октаэдра, радиус которого равен тоже лежит строго внутри полупространства. Получаем противоречие, так как по условию расстояние до граничной плоскости полупространства равно

Покажем теперь, что длина пути меньше Пусть — высота пирамиды Запишем ее объём двумя способами:

Отсюда получаем, что а длина ребра октаэдра равна Поэтому длина пути равна так как

а) Зона покрытия — часть сферы, лежащая внутри конуса. , где — высота сегмента. , здесь угол — угол между радиусом ОГ и линией ОА, соединяющий центр сферы с центром окружности, которая является линией пересечения сферы и конуса.

Тогда площадь равна

б) Пусть О — центр сферы, В — точка касания первой и второй окружности, А и их центры этих окружностей, — точки пересечения радиусов со сферой. Обозначим — угол между ОЗ и ОВ. Тогда

В правильной пирамиде О плоские углы при вершине равны двугранный угол при ребре О3 равен Опустив перпендикуляры из точек и на ребро О3 в точку H, треугольники О и О равны (по трем сторонам), т.к. две стороны равны а третья

Рассмотрим куб и его сечение плоскостью, проходящей через середины рёбер и

В сечении получится шестиугольник Покажем, что он правильный. Действительно, каждая его сторона равны половине диагонали грани, то есть равна . Из равенства треугольников и (по трём сторонам) следует равенство углов Аналогично показывается равенство всех других внутренних углов шестиугольника. Так как , внутрь шестиугольника (а, значит, и внутрь куба) помещается правильный шестиугольник со стороной .

Примечание: Правильность шестиугольника можно было также доказать, используя тот факт, что он переходит в себя при поворотах на и на относительно диагонали куба

Пусть — середина и — медианы равнобедренных треугольников и , a значит, биссектрисы и высоты. То есть . Значит, отрезок перпендикулярен плоскости , следовательно, .

Таким образом, лежит в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра (обозначим эту плоскость через ). Сечение цилиндра этой плоскостью — окружность, а является хордой этой окружности. Тогда радиус цилиндра минимален, если диаметр. Отметим, что это возможно в силу того, что отрезки и длиннее, чем . Действительно, из треугольников и следует, что

Рассмотрим тетраэдр, в котором является диаметром цилиндра. Возможны 2 случая: точки и лежат по одну (этот случай представлен выше) или по разные стороны плоскости .

Пусть - проекция точек и на плоскость . Угол , так как он вписан в окружность и опирается на её диаметр. в силу равенства треугольников и . Тогда . По теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках и соответственно: .

Тогда, если точки и лежат по одну сторону от плоскости , то . Если точки и лежат по разные стороны от плоскости , то .

Доказано, что 𝐴𝐵 – диаметр цилиндра наименьшего радиуса – 2 балла; если при этом не проверено, что точки 𝐶 и 𝐷 могут лежать на боковой поверхности такого цилиндра (например, можно доказать, что треугольники 𝐴𝐵𝐶 и 𝐴𝐵𝐷 остроугольные; можно сделать, как в решении), то 1 балл вместо 2;

найдены оба значения 𝐶𝐷 – 3 балла;

найдено только одно значение 𝐶𝐷 – 1 балл вместо 3.

Пусть ребро исходного куба, из которого получился кубооктаэдр, равно 1. Рассмотрим сечения кубооктаэдра плоскостью, параллельной основанию куба, на расстоянии от основания. В сечении будут получаться восьмиугольники, все углы которых равны . Для доказательства этого факта достаточно рассмотреть точки пересечения плоскости сечения с ребрами куба:

Найдем значение , при котором соседние стороны получающегося в сечении восьмиугольника равны, тогда он окажется правильным. Длина стороны, которая лежит в грани куба, находится из пропорции . Другая сторона — это гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника, длина которой равна . Поэтому достаточно потребовать, чтобы выполнялось равенство , то есть . Итак, правильный восьмиугольник в сечении получиться может.

Предположим, что в сечении кубооктаэдра некоторой плоскостью получился правильный -угольник и . Тогда вершины этого -угольника должны лежать на ребрах кубооктаэдра, причем одному ребру не может принадлежать более двух вершин -угольника. Рассмотрим сечение исходного куба, которое является правильным шестиугольником (на рисунке ниже закрашено серым), а также сечения, которые получаются из данного поворотом на и относительно вертикальной оси куба:

Заметим, что объединение сторон этих четырех правильных шестиугольников есть объединение всех ребер кубооктаэдра. Покажем, что на сторонах какого-то из четырех выбранных правильных шестиугольников лежит хотя бы 3 вершины -угольника. Действительно, если на сторонах каждого такого шестиугольника лежит не более двух вершин, то всего вершин будет не более восьми. Следовательно, плоскость сечения -угольника совпадает с плоскостью этого шестиугольника и в сечении кубооктаҝдра получается шестиугольник. Получаем противоречие.

Пусть наши кубы — это и с общей гранью . Пусть также треугольное сечение первого куба — это , где точка лежит на , точка на , а точка — на . Одна из сторон четырёхугольного сечения второго куба — отрезок . Две другие — продолжения отрезков и на грани второго куба, назовём эти отрезки и . Чтобы сечение было четырёхугольным, точки и должны находиться на одной грани второго куба, а это может быть только грань .

Значит, четырёхугольное сечение второго куба — это трапеция . Нахождение её наибольшей площади равносильно нахождение наибольшей площади треугольника , который подобен треугольнику . Обозначим этот коэффициент подобия . Тогда . То есть наша задача равносильна задаче о нахождении максимального коэффициента подобия.

С другой стороны, по теореме Фалеса . То есть коэффициент подобия тем больше, чем меньше , а значит, наша задача — минимизировать , или, что то же самое, минимизировать .

Пусть у нас есть треугольник, вершины которого расположены на трёх рёбрах куба, выходящих из одной точки, на расстояниях и . Найдём формулу площади этого треугольника. Это можно делать по-разному, например, через векторное произведение, или посчитав двумя способами площадь тетраэдра, образованного вершинами треугольника и вершиной куба, но мы вычислим эту площадь по формуле Герона, зная стороны треугольника: и .

Посмотрим на эту формулу для треугольника и отрезков . С одной стороны, нам надо минимизировать , а с другой - максимизировать площадь. Очевидно, для этого и должны быть максимальны, то есть равны ребру .

Как мы знаем, , то есть , откуда , .

Подставляя эти значения в формулу, получаем:

Соответственно, , откуда . Правая часть этого равенства убывает при , а значит, данное уравнение на имеет не больше одного решения. Конкретное решение в большинстве вариантов легко подбирается из этого равенства, так как оно целочисленное.

При мы получаем уравнение , откуда сразу возникает желание проверить , что оказывается верным.

Ответ получается как разность площадей двух треугольников и равен

Опустим перпендикуляры из точки на плоскости и соответственно. Обозначим , , Согласно условию составим систему уравнений

Отсюда находим , , Обозначим длины рёбер , и через и соответственно.

Лемма:

Доказательство: Введём систему координат с началом в точке как на рисунке. Запишем уравнение плоскости .

Так как плоскость не проходит через начало координат, то . Значит можно поделить на . Получим:

Теперь поставим в уравнение плоскости точки, в ней лежащие, чтобы найти коэффициенты , , . Итого получим, что , , . А значит уравнение плоскости

Подставив туда координаты принадлежащей этой плоскости точки , получим Лемма доказана.

Из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим для трёх переменных получаем:

причём равенство имеет место при Объём пирамиды поэтому Равенство имеет место при , ,

Обозначив точку пересечения с плоскостью через , получим . В пересечении сферы с плоскостью получается некоторая окружность. Проведём через диаметр этой окружности.

Тогда и — хорды сферы, и по свойству пересекающихся хорд: . Так как , то минимальный радиус окружности больше или равен и значение достигается при , то есть центр этой окружности. Так как , то При этом Значит,

Площадь боковой грани не меньше поэтому

Следовательно, , т.е. перпендикулярно . Аналогично получаем, что и перпендикулярно и . Поэтому объём пирамиды равен