Тема СТЕРЕОМЕТРИЯ

Векторы и координаты в стерео → .04 Поиск углов через координаты и векторы

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела стереометрия

Разделы подтемы Векторы и координаты в стерео

Базовые операции с векторами в пространстве

Уравнения различных ГМТ

Поиск длин, площадей и объёмов в координатах

Поиск углов через координаты и векторы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#47138

Пусть $M$ и $N$ — середины сторон $BC$ и $DA$ тетраэдра $ABCD,$ у которого стороны $AB$ и $CD$ равны. Докажите, что прямая $MN$ образует равные углы с прямыми $AB$ и $CD.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем построить два треугольника из равных векторов и понять, что в них будут равные углы. Для этого в одном треугольнике должны быть векторы MN и AB, а в другом NM и CD!

Подсказка 2

Да, так как сумма двух векторов в треугольнике равна третьему, нам нужно всего лишь найти вектора, которые дают MN! Попробуйте выразить его через сумму векторов.

Показать ответ и решение

Опустим везде обозначения векторов, поскольку больше ничего использовать не будем.

$PIC$

NM =NA + AB +BM = DA-+BC-+ AB = v+ AB 2

NM = ND +DC + CM = DC + AD-+-CB-=− CD − v =⇒ MN =CD + v 2

Итак, рассмотрим треугольник, образованный векторами $v$ , $AB$ и $NM$ . Он равен треугольнику, образованному векторами $v$ , $CD$ и $MN$ по трём сторонам. Но тогда равны углы $∠ (AB,NM )=∠(CD,MN )$ , что и требовалось доказать (поскольку треугольники образованы векторами, то это и будут углы между прямыми).

Ответ:

что и требовалось доказать

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#76413

Все рёбра правильной треугольной призмы $ABCA B C 1 1 1$ имеют длину $6.$ Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AA 1$ и $A C 1 1$ соответственно.

a) Докажите, что прямые $BM$ и $MN$ взаимно перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями $BMN$ и $ABB1.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим правильную треугольную призму, поэтому удобно было бы ввести прямоугольную систему координат: ось x вдоль луча AB, ось z вдоль AA₁, ось y перпендикулярно x и z в сторону точки C. Какие координаты тогда имеет вектор BM?

Подсказка 2

Верно, BM = (-6, 0, 3)! Надо бы еще найти MN, для этого найдем N: координата по z у нее 6, а вот с x и y надо разобраться. Опустим перпендикуляр NH из N на плоскость ABC. Тогда H- середина стороны AC. Какие тогда координаты имеет точка H?

Подсказка 3

В точку, H = (3/2, 3√3/2, 0)! Тогда N = (3/2, 3√3/2, 6) ⇒ MN = (3/2, 3√3/2, 3). Осталось только проверить, что скалярное произведение BM и MN равно 0. А как мы будем искать угол между плоскостями?

Подсказка 4

Легче всего это сделать через векторы нормали этих плоскостей. Составьте уравнения плоскостей BMN и ABB₁ по трем точкам, чтобы найти векторы нормали, и используйте формулу для косинуса угла между векторами.

Показать ответ и решение

Введём прямоугольную декартовую систему координат, как на рисунке: $A$ — начало координат, ось $Ox$ направим вдоль $AB$ , $Oy ⊥ AB$ в плоскости $ABC$ в сторону $C$ , $Oz$ вдоль $AA1$ .

$PIC$

а) Найдём координаты вектора $---- BM$ :

$( ) ( ) ( ) 6 0 ---- − 6 B = |(0|) ,M =|( 0|) ⇒ BM = |( 0|) 0 3 3$

Найдём координаты вектора $---- MN$ :

Предварительно найдём координаты точки $C$ и $A1C1$ :

Высота в треугольнике $ABC$ из вершины $C$ по т. Пифагора равна $∘ -----(---)2 √- AC2 − AB2- = 3 3$ , а значит $( ) ( ) 3- ---- 3- C = |(3√ 3|) ⇒ A1C1 = |(3√3|) 0 0$

$PIC$

$( ) ( 3 ) ( 3 ) | 0| 1---- | 2√-| ---- | 2√-| M =( 0),N = 2A1C1 = ( 323) ⇒ BM =( 323) 3 6 3$

Найдём их скалярное произведение: $√-- (−6)⋅ 32 + 0⋅-267+ 3⋅3= 0⇒ BM ⊥ MN$ . что и требовалось доказать

б) Составим уравнение плоскостей:

$(BMN ):K1x+ M1y+ N1z+ L1 = 0$

( B : |{ 6K1 + L1 = 0 M :| 3N1 + L√1 = 0 N : ( 3K1 + 3 3M1+ 12N1+ 2L1 =0

Пусть $L1 = 6$ , тогда, решая систему, получим: $( ) ( ) | K1| |−5√13| ( M1) = (-3-) N1 − 2$ , за вектор нормали к этой плоскости возьмём $( ) ( ) K1 −√3 n1 = 3|( M1|) = |(5 3|) N1 − 6$ .