Тетраэдр в параллелепипеде

Рассмотрим куб со стороной . Отметим у него две вершины на диагонали одной из граней (скажем, верхней грани) и две вершины на диагонали параллельной (нижней) грани, непараллельной первой диагонали. Полученные вершины образуют правильный тетраэдр со стороной , что и задано в условии. Теперь отметим, что проекция каждой грани куба — параллелограмм, в котором диагонали равны проекциям рёбер тетраэдра. А по тождеству параллелограмма сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов сторон, откуда следует равенство суммы квадратов проекций сторон тетраэдра аналогичной сумме для сторон куба.

Итак, будем рассматривать куб. Пусть прямая , перпендикулярная плоскости, образует с рёбрами куба углы . Тогда длины проекций рёбер равны . Заметим, что — это длины перпендикуляров из вершины единичного вектора (коллинеарного прямой ) на оси, то есть длины проекций вектора на координатные плоскости. Отсюда сумма их квадратов равна единице. Из равенства для косинусов следует . Поскольку каждая проекция встречается ровно по раза, то в итоге сумма длин проекций равна , что и требовалось.