Тетраэдр в параллелепипеде

Достроим тетраэдр до параллелепипеда , проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей.

Ввиду равенств и все грани этого параллелепипеда будут прямоугольниками, а сам параллелепипед — прямоугольным; точка окажется его центром, а середины рёбер и — центрами граней и соответственно.

Bce эти центры принадлежат сфере, построенной на отрезке как на диаметре. Следовательно, искомый радиус равен

Учитывая, что

получаем

Достроим тетраэдр до параллелепипеда, проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей. Диагонали каждой грани построенного параллелепипеда равны противоположным рёбрам тетраэдра.

Пусть и и и — противоположные рёбра тетраэдра, а и — расстояния между их серединами. Тогда рёбра параллелепипеда, исходящие из одной вершины, равны и По теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма:

Сложив почленно эти равенства, получим:

Таким образом, сумма квадратов всех рёбер тетраэдра равна что и требовалось доказать.

Решение 1. Пусть рёбра параллельны граням и соответственно. Проведём через плоскости, которые параллельны и соответственно. Получается параллелепипед, пять вершин которого совпадают с вершинами наших пирамид. Пусть — объём этого параллелепипеда. Тогда объём пирамиды равен как и объём трёх других пирамид, основаниями которых являются грани тетраэдра Поэтому объём пирамиды равен

то есть вдвое больше объёма пирамиды что и требовалось доказать.

Решение 2. Пусть — точка пересечения медиан треугольника Пусть — плоскости, проходящие через точки параллельные плоскостям соответственно. Поскольку точка лежит в плоскости Аналогично, она лежит и в плоскостях и Пусть — образ точки при гомотетии с центром в точке и коэффициентом При этой гомотетии середина отрезка переходит в поэтому плоскость переходит в плоскость Значит, Аналогично, и

Плоскости имеют единственную общую точку, поэтому их образы при рассматриваемой гомотетии тоже имеют единственную общую точку. Таким образом, получаем, что По построению точки расстояние от неё до плоскости в два раза больше, чем расстояние от до этой плоскости, поэтому объём пирамиды (она же вдвое больше объёма пирамиды

Проведём через пару скрещивающихся рёбер тетраэдра две параллельные плоскости. Так же поступим для двух других пар скрещивающихся рёбер и получим параллелепипед. Диагонали его граней равны между собой, поэтому все грани — прямоугольники, и параллелепипед прямоугольный. Пусть — его центр, являющийся также центром описанной сферы тетраэдра Пусть также — точки, симметричные соответственно относительно точки Докажем, что все построенные прямые проходят через точку

Пусть — центр масс треугольника . Тогда

То есть точка лежит на диагонали и делит её в отношении , считая от вершины Аналогично центр масс треугольника лежит на этой диагонали и делит её в отношении , считая от вершины Точка — середина отрезка поэтому

Рассмотрим проекцию на плоскость — проекция точки , — проекция центра Точка совпадает с центром описанной сферы тетраэдра поэтому — центр описанной окружности треугольника

Тогда прямая проецируется в прямую Эйлера треугольника Пусть Тогда ( делит отрезок в отношении , это отношение сохраняется при проецировании). Кроме того, лежат на одной прямой и (прямая Эйлера), отсюда Следовательно, , а прямая , перпендикулярная плоскости , делит отрезок пополам, а значит, совпадает с прямой . Итак, все построенные прямые проходят через точку .

Рассмотрим куб со стороной . Отметим у него две вершины на диагонали одной из граней (скажем, верхней грани) и две вершины на диагонали параллельной (нижней) грани, непараллельной первой диагонали. Полученные вершины образуют правильный тетраэдр со стороной , что и задано в условии. Теперь отметим, что проекция каждой грани куба — параллелограмм, в котором диагонали равны проекциям рёбер тетраэдра. А по тождеству параллелограмма сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов сторон, откуда следует равенство суммы квадратов проекций сторон тетраэдра аналогичной сумме для сторон куба.

Итак, будем рассматривать куб. Пусть прямая , перпендикулярная плоскости, образует с рёбрами куба углы . Тогда длины проекций рёбер равны . Заметим, что — это длины перпендикуляров из вершины единичного вектора (коллинеарного прямой ) на оси, то есть длины проекций вектора на координатные плоскости. Отсюда сумма их квадратов равна единице. Из равенства для косинусов следует . Поскольку каждая проекция встречается ровно по раза, то в итоге сумма длин проекций равна , что и требовалось.

Достроим тетраэдр до параллелепипеда. Тогда и - диагонали двух противоположных граней параллелепипеда. Пусть и - стороны этих граней, причём По теореме косинусов и поэтому Записав такие равенства для чисел и получим требуемое.

В кубе рассмотрим 4 вершины .

Они являются вершинами правильного тетраэдра со стороной , где — ребро куба. Поскольку , рассмотрим подобный тетраэдр с коэффициентом подобия , т.е. проделаем гомотетию с центром в центре куба и данным коэффициентом подобия. Получим четыре вершины нового тетраэдра внутри куба. Поскольку цветов у пластилина три, хотя бы две вершины этого тетраэдра будут одного цвета.

Первое решение. Покажем, что если у тетраэдра два скрещивающихся ребра перпендикулярны и имеют длины и то существует сечение тетраэдра, которое является квадратом со стороной

Разделим четыре остальных ребра тетраэдра в отношении считая от концов ребра длины (см. рис.). Соединив точки деления, получим сечение, которое является параллелограммом со сторонами длины и в силу подобия треугольников. На самом деле, это сечение является прямоугольником, поскольку стороны параллелограмма параллельны перпендикулярным рёбрам тетраэдра по обратной теореме Фалеса и, следовательно, тоже перпендикулярны. Осталось подобрать таким образом, чтобы стороны прямоугольника были равны, т. е. откуда При этом сторона получившегося квадрата будет равна

Рассмотрим три взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке Отложим на этих прямых от точки отрезки где — некоторый параметр (см. рис.). В тетраэдре есть три пары скрещивающихся перпендикулярных рёбер: ребро перпендикулярно плоскости следовательно, перпендикулярно ребру лежащему в этой плоскости; аналогично ребра и перпендикулярны ребрам и соответственно. Покажем, что можно подобрать параметр так, что сторона одного из построенных квадратных сечений будет в раз больше стороны другого. Рассмотрим пару перпендикулярных скрещивающихся ребер и длин и По доказанному утверждению длина стороны соответствующего квадратного сечения равна

Теперь возьмём пару перпендикулярных скрещивающихся рёбер и длины и Сторона соответствующего квадратного сечения будет равна

Рассмотрим функцию Она непрерывна при и Далее, поэтому

т.е. По теореме о промежуточном значении непрерывной функции на отрезке существует такое что Для найденного возьмём получившийся тетраэдр Искомый тетраэдр подобен с коэффициентом подобия

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Рассмотрим параллелепипед боковые грани которого являются квадратами с диагоналями, равными а верхняя и нижняя грани — ромбы. Рассмотрим тетраэдр (см. рис.). Поскольку диагонали граней параллелепипеда перпендикулярны, а диагонали его противоположных граней попарно параллельны, пары скрещивающихся рёбер тетраэдра перпендикулярны. Согласно первому решению у такого тетраэдра есть три квадратных сечения, параллельных парам его скрещивающихся рёбер. Сторона квадратного сечения тетраэдра, параллельного рёбрам и будет равна

Покажем, что можно выбрать ромб в верхнем и нижнем основаниях параллелепипеда таким образом, что квадратное сечение тетраэдра, параллельное рёбрам и будет иметь сторону длины Спроектируем параллелепипед на верхнюю грань, при этом рёбра тетраэдра спроектируются на стороны ромба а квадрат сечения тетраэдра, параллельного прямым и спроектируется в равный ему квадрат, вершины которого будут лежать на сторонах ромба Сторона вписанного в ромб квадрата не превосходит меньшей диагонали ромба, поэтому, устремляя длину меньшей диагонали ромба к получим квадрат со стороной, сколь угодно близкой к нулю. В то же время, если в качестве ромба взять квадрат, то сторона вписанного квадрата будет равна В силу непрерывности изменения длины стороны вписанного квадрата найдётся такой ромб, что сторона вписанного в него квадрата равна что и требовалось.