Развёртка
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На поверхности правильного тетраэдра 
построена замкнутая линия, каждая точка 
которой обладает следующим свойством:
длина кратчайшего пути по поверхности тетраэдра между 
и серединой ребра 
равна длине кратчайшего пути по
поверхности тетраэдра между 
и серединой ребра 
. Найдите длину этой линии, если длина ребра тетраэдра равна
1.
Источники:
Подсказка 1
У нас тут рассматривается расстояние по поверхности...Как можно перевести картинку на плоскость в таком случае, чтобы было более удобно?
Подсказка 2
Рассмотреть развертку! Вот пусть мы развернули его так, что получился ромб ABCD, где AC - общее ребро у развернутых граней. Но все еще непонятно как работать с линиями ломаной, которые не получится нормально нарисовать на развертке. Что можно в таком случае придумать?
Подсказка 3
Давайте мысленно "порежем" нашу ломаную ребрами и отрезками AN, BN, CM, DM, где M и N - середины AB и CD, и рассмотрим только ту часть ломаной, что внутри треугольника AMC на нашей развертке. Наверное, в этом треугольнике не сложно найти такие точки на развертке?
Подсказка 4
Например, пусть P - точка ломаной внутри AMC. Понятно, что кратчайший путь от P до M - это PM, а кратчайший путь от P до N - это отрезок PN). Такие отрезки должны быть равны, а значит какое ГМТ у P?
Подсказка 5
Серединный перпендикуляр к MN! Достаточно легко теперь найти длину этой ломаной внутри AMC. А что делать с остальными частями этой ломаной? Вот что: попробуйте осознать, что они будут такими же, например, из соображений симметрии)
Пусть 
и 
— середины ребер 
и 
соответственно. Из соображений симметрии ясно, что ребрами 
и отрезками
линия, о которой идет речь в условии задачи разбивается на 8 равных. Поэтому достаточно рассмотреть точки,
принадлежащие треугольнику 
.
Пусть 
- одна из таких точек. Тогда кратчайшим путем между 
и 
служит отрезок 
, а кратчайшим путем между 
и 
- двухзвенная ломаная 
, вершина 
которой принадлежит ребру 
(в случае 
имеем просто отрезок 
. На развертке
тетраэдра объединение граней 
и 
представляет собой ромб 
, а ломаная 
- отрезок 
в нем. Условие
означает, что 
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку 
; следовательно геометрическим местом точек 
служит отрезок 
, где 
- середина ребра 
(и середина отрезка 
) 
- точка на отрезке 
, 
(см
рисунок).
Найдем длину отрезка 
. Легко видеть, что 
, а отрезок 
, будучи средней линией треугольника 
, имеет длину
. Поэтому 
Умножив это число на 8, получим ответ к задаче: 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
