Развёртка

Пусть и — середины ребер и соответственно. Из соображений симметрии ясно, что ребрами и отрезками линия, о которой идет речь в условии задачи разбивается на 8 равных. Поэтому достаточно рассмотреть точки, принадлежащие треугольнику .

Пусть - одна из таких точек. Тогда кратчайшим путем между и служит отрезок , а кратчайшим путем между и - двухзвенная ломаная , вершина которой принадлежит ребру (в случае имеем просто отрезок . На развертке тетраэдра объединение граней и представляет собой ромб , а ломаная - отрезок в нем. Условие означает, что лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ; следовательно геометрическим местом точек служит отрезок , где - середина ребра (и середина отрезка ) - точка на отрезке , (см рисунок).

Найдем длину отрезка . Легко видеть, что , а отрезок , будучи средней линией треугольника , имеет длину . Поэтому

Умножив это число на 8, получим ответ к задаче:

Для отслеживания движения жучка будем использовать частичную развертку куба, покрывающую грани. Каждый квадратик будем обозначать двузначным числом, 1-я и 2-я цифры которого являются соответствующими координатами центра квадратика на развертке (единица — ширина квадратика):

Маршрут жучка определяется его начальным положением и направлением его первого перемещения. Хотя всего таких вариантов их все можно разбить на принципиально различных групп:

1) Жучок стартует с центрального квадратика любой грани по направлению к любому ребру

2-3) Старт с углового квадратика любой грани, а первое перемещение в пределах той же грани вдоль ребра, идущего соответственно справа или слева от жучка

4-5) Старт с углового квадратика любой грани, а при первом перемещении жучок переползает на соседнюю грань, причем третья примыкающая грань остается соответственно справа или слева от него

6) Старт с приреберного квадратика любой грани по направлению к центру

7) Старт с приреберного квадратика любой грани с переходом на соседнюю грань при первом перемещении

8-9) Старт с приреберного квадратика любой грани, а первое перемещение в пределах той же грани вдоль ребра, идущего соответственно справа или слева от жучка

Заполним таблицу, в которой для каждой группы приведем пример маршрута в течение того времени, когда обнаруживается его периодичность, т.е. когда на какой-либо четной секунде жучок оказывается на начальном квадратике, а еще через с — на квадратике, где он был через с после начала движения.

В случае группы выберем для старта квадратик с первым перемещением и проследим весь маршрут, пока не обнаружим, что его период равен c (1-я колонка таблицы после двойной вертикальной черты).

Заметим, что через c после начала движения жучок окажется в начальном состоянии группы Поэтому для нее маршрут также будет иметь период с и его можно получить из маршрута группы сдвигом на с.

Еще через с жучок окажется в начальном состоянии группы Поэтому и для нее маршрут будет с периодом с и его можно получить из маршрута группы сдвигом на с.

Еще через с имеем начальное состояние группы и получаем ее маршрут с периодом с из маршрута группы сдвигом на с.

Для остальных групп получаются кольцевые маршруты с периодом с, причем в течение одного периода жучок ни на одном квадратике не оказывается дважды.

Так как (остаток от деления на равен ) и (остаток от деления на равен то через с после начала движения жучок окажется на том же квадратике, на котором он был через с после начала, а за с до этого — на том же квадратике, на котором он был через с после начала.

Как видно из таблицы, такое совпадение имеет место только для группы (квадратик Так как этот квадратик встречается на маршруте только дважды в течение периода ( с и с), следующее попадание на него произойдет через (с).

Рассмотрим и . Тогда для произвольной ( получается из поворотом на относительно ). Но отсюда нам надо найти минимум , который достигается только при и будет равен , то есть

Отметим на развертке точки, которые склеются при сборке кубика, одним цветом, а так же перенумеруем грани.

Как видно, красная вершина — вершина принадлежащая , и граней, — а так же синяя вершина — вершина принадлежащая , и граней, — не являются концами отрезков, нарисованных на второй и четвертых гранях, а значит картинка (а) не соответствует этой развертке.

Также не являются концами отрезков, нарисованных на второй и четвертых гранях, вершины, принадлежащие и граням, а значит кубик (б) имеет другую развертку.

На пятой грани три точки соответствуют диагонали, один из концов которой — оранжевая вершина. Значит, на рисунке (г) спереди сверху изображена зеленая вершина. Зеленая вершина находится слева от грани 6 на развертке, но справа на рисунке кубика, а занчит, этот кубик не соответсвует этой развертке.

Остается кубик под буквой (в).

Минимизируем длину пути с помощью развёртки куба. По неравенству ломаной сумма длин отрезков будет минимальна, если их концы лежат на одной прямой.

Если путь идёт только по , и , то длина по этим двум граням будет . Если путь идёт только по и , то длина по этим двум граням будет . Аналогично по граням , и или и , а других вариантов нет.

Докажем, что грани пирамиды — равные треугольники. Для этого рассмотрим развёртку пирамиды , где

Пусть . Так как , то точки лежат на одной прямой. Так как , то — параллелограмм и . Аналогично — тоже параллелограмм. Треугольник равен треугольнику . Значит, грани пирамиды — равные треугольники.