Сложные логарифмические неравенства

Запишем ОДЗ:

На ОДЗ преобразуем логарифмы в левой части неравенства, используя формулу перехода к новому основанию:

Тогда исходное неравенство равносильно неравенству:

Отсюда

При функция монотонно возрастает, и так как то уравнение имеет единственный корень

На оставшемся множестве определения функции т.е. на множестве функция отрицательна, а потому уравнение не имеет решений.

Докажем, что для всех верно неравенство

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Для этого достаточно показать, что Действительно, пусть , тогда , следовательно, выпукла вверх на отрезке Кроме этого и , а значит, для всех , а значит, для всех , откуда получаем требуемое.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Так как и то применяем доказанное неравенство:

Выпишем ОДЗ:

Умножим наше неравенство на преобразуем выражения под знаком логарифма:

Так как функция монотонно возрастает, то

Домножим на положительный (с учетом ОДЗ!) знаменатель:

По обратной теореме Виета у квадратного трехчлена в левой части — все его корни. Тогда

Пересекая с ОДЗ, получаем ответ.

Сначала запишем ОДЗ:

Так как то получаем система, указанная выше, эквивалентна следующей:

Из третьего неравенства получаем, что Тогда, пересекая все неравенства, получаем

Теперь преобразуем исходное неравенство:

С учетом ОДЗ и свойств логарифма получаем:

Пусть Тогда уравнение принимает вид:

Приводим к общему знаменателю:

Решив данное неравенство, получаем или Из получаем откуда Теперь сделаем обратную замену для :

По методу рационализации:

Решаем неравенство и получаем, что Пересекая с ОДЗ, получаем

Выражения в знаменателе и под логарифмами заведомо положительны, поэтому ОДЗ достаточно выписать для подкоренных выражений:

Значит,

По свойствам логарифмов

Тогда исходное неравенство эквивалентно

Так как логарифм по основанию возрастает на своей области определения, то при ограничении на имеем:

Откуда с учётом ОДЗ .

По основному логарифмическому тождеству и свойствам степеней получаем

В силу возрастания показательной функции с основанием 3 неравенство равносильно

По свойствам логарифмов это эквивалентно

После замены получаем неравенство

После обратной замены

По свойствам логарифмов

Поэтому неравенство равносильно

После замены получается

Решаем методом интервалов и делаем обратную замену:

В итоге

ОДЗ:

Пусть . Тогда можем разделить обе части неравенства на без смены знака:

Так как то неравенство равносильно:

Пусть . Тогда . Значит, Отсюда

Аналогично при получим откуда Осталось не забыть ОДЗ. В итоге

В силу монотонности логарифмической функции неравенство равносильно

Пусть . Из левого неравенства

Числитель всегда больше , значит, решением является .

Решение правого неравенства:

С учётом пересечения с левым неравенством получаем . Значит, , так что .

ОДЗ задаётся пересечением условий .

Обозначим , получим

Далее , тогда

Рассмотрим два случая

• Пусть , то есть

  

  Заметим, что при выполнено первое неравенство объединения. Если , то из первого неравенства системы верно , что не выполнено из ОДЗ.

• Теперь . Здесь

  

  Решим второе и третье неравенства и получим , что подходит в первое.

Пусть тогда

Рассмотрим случаи:

Так как

при

Следовательно, при неравенство не выполнятся.

Тогда

Переходя в обоих логарифмах к основанию 3, имеем:

Обозначаем и получаем:

Возвращаясь к переменной , окончательно получаем:

Условие существования логарфма:

Случай с исключением ОДЗ нам подходит, так как слева всегда больше .

Рассмотрим случай

В этом случаем получаем

После замены по свойствам логарифмов получаем неравенство

По методу интервалов

По методу рационализации на ОДЗ получаем

Первое условие после пересечения с ОДЗ дает решения которые сразу заносим в ответ. Если же первое условие не выполнено, то поэтому второе условие при ( всё равно не входит в изначальную ОДЗ) эквивалентно системе

решения которой

тоже добавляем в ответ.

ОДЗ:

Если

то правая часть

равенство выполняется. Тогда

Если

то правая часть неотрицательная, и значит, можно восвести в квадрат

Это можно переписать как

Значит, и или . Если объединить два случая, то получится

ОДЗ: и .

Значит,

Пусть . Тогда

Отсюда . , поэтому нам подходят такие, что или .

Если , то левая часть отрицательная, а правая положительная и такие подходят. Если , то и неравенство можно домножить на положительное . Тогда . Отсюда

Так как выражение под логарифмами одинаковое, но , то .

Значит, либо , либо .

При неравенство равносильно , то есть

Это неравенство задаёт круг с центром и радиусом Самая нижняя точка имеет координаты и удовлетворяет ограничению .

При для каждой пары , удовлетворяющей исходному неравенству, справедливо . Стало быть, искомое множество состоит ровно из одной точки

Найдём ОДЗ: . Далее перевернём логарифмы и используем свойства логарифмов:

Заменим на и получим дробно-рациональное неравенство:

Теперь сделаем обратную замену и получим:

Решим неравенство (1) системы. Обозначим . Тогда

Так как , то . Отсюда

— это ответ в неравенстве (1).

Далее учтем ограничения (2). Для этого сравним числа и

Заметим, что и , так как . Поэтому . Запишем ответ с учетом (2).