Тема Логарифмы

Сложные логарифмические неравенства

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела логарифмы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#119858

Решите неравенство

2 2 2log4(x +3)⋅log9(x +8)≤ log3(x+ 3)⋅log2(x+ 8)− 2

Источники: ПВГ - 2025, 11.3(см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обычно логарифмические неравенства начинают с ОДЗ, но тут с этим можно повременить. Давайте заметим, что если бы в левой части основания были поменяны местами, можно было бы с лёгкостью сделать их 2 и 3 и получить квадратное неравенство относительно произведения логарифмов.

Подсказка 2

Но можно же легко добиться идеи из первой подсказки, используя переход к новому основанию!

Подсказка 3

Итак, скорее всего вы уже решили квадратное неравенство и теперь думаете, как получить итоговый ответ относительно x. Для этого достаточно заметить, что произведение логарифмов в этой задаче — возрастающая функция.

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

{ x+ 3> 0 { x> −3 x+ 8> 0 ⇐⇒ x> −8 ⇐ ⇒ x >− 3

На ОДЗ преобразуем логарифмы в левой части неравенства, используя формулу перехода к новому основанию:

log2(x+-3) log3(x+ 3)= log23

log(x+ 8) log2(x+ 8)= -l3og-2-- 3

Тогда исходное неравенство равносильно неравенству:

log22(x-+3)⋅ log23(x+-8)⋅2≤ log(x+ 3)⋅log(x+ 8)− 2 4 4 2 3

log22(x+ 3)⋅log23(x+ 8)≤ 8log2(x+ 3)⋅log3(x +8)− 16 ⇔ (log2(x+ 3)⋅log3(x+ 8)− 4)2 ≤0

Отсюда

log2(x+ 3)⋅log3(x+ 8)= 4

При $x≥ −2$ функция $f(x) =log2(x+ 3)⋅log3(x+ 8)$ монотонно возрастает, и так как $f(1)= 4,$ то уравнение $f(x)= 4$ имеет единственный корень $x= 1.$

На оставшемся множестве определения функции $f(x),$ т.е. на множестве $x ∈(−3;−2)$ функция $f(x)$ отрицательна, а потому уравнение $f(x)= 4$ не имеет решений.

Ответ:

$1$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#121642

Попарно различные натуральные числа $x ,...,x 1 n$ таковы, что для каждых двух из них одно является степенью другого с натуральным показателем. Найдите наименьшее возможное значения выражения

logx1x2+ logx2x3+ logx3 x4 +...+ logxn−1xn+ logxnx1

Источники: ИТМО-2025, 11.5(см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала попробуйте придумать какой-нибудь простой пример, это должно натолкнуть на идею для оценки.

Подсказка 2

Идея оценки будет следующей. Давайте упорядочим иксы: a₁ < a₂ < ... и введём обозначения a₂ = a₁^k₁, a₃ = a₂^k₂ для удобства оценки.

Подсказка 3

Попробуйте выбрать из ашек самую длинную возрастающую последовательность. Рассмотрите логарифмы от её членов. Попробуйте их оценить за счёт увеличения основания.

Показать ответ и решение

Приведём сначала пример, для которого достигается это число: $x 1$ — любое натуральное число, большее $1,$ $x =x2, 2 1$ $2 2 2n−1 x3 = x2,...,xn =xn−1 =x1 .$

Переупорядочим наши числа по возрастанию: $a1 < a2 < a3 < ...< an.$ Тогда: $k1 a2 = a1 ,$ $k2 kn−1 a3 =a2 ,...,an =an−1 .$ Соответственно, $k1k2 k1...kn−1 a3 = a1 ,...,an = a1 .$

К сожалению, мы не можем сказать, что $x1 <x2 <x3 < ...<xn,$ потому что при этом нарушается общность: соседние по возрастанию элементы не обязательно идут подряд.

Однако, поскольку от циклического сдвига переменных ничего не поменяется, мы можем считать, что $x1 = a1.$ Выделим среди чисел $x1,...xn$ самую длинную возрастающую последовательность. Если точнее $b1 = x1,b2 = x2,b3$ — первый из элементов $x3,...xn,$ больший $x2,b4$ — первый из элементов, следующих за $b3,$ больший $b3$ и так далее. Последним элементом этой подпоследовательности будет $bm =an$ — наибольшее среди всех чисел.

Рассмотрим в нашей сумме логарифмов только те логарифмы, аргументами которых являются числа $b2,...bm.$ На самом деле, это все логарфимы из искомой суммы, большие единицы. Основания этих логарифмов назовём $c2,...,cm$ и запишем их сумму:

logc2 b2+ logc3b3+...+logcm bm ≥ logb1 b2+ logb2b3+...+logbm−1bm

Это неравенство верно, поскольку $ci ≤ bi−1$ из определения $bi :bi$ — первый после $bi−1$ элемент последовательности $xk,$ больший, чем $bi−1,$ значит, все элементы, находящиеся в последовательности $xk,$ между $bi−1$ и $bi$ (если они есть) меньше, чем $bi.$

Далее,

logb b2 = k1⋅...⋅kj1 1

logb2b3 = kj1+1⋅...⋅kj2

...

logbm−1bm =kjm−2 ⋅...⋅kn

Все $ki$ — натуральные числа, не меньшие $2,$ поэтому для любого их набора произведение не меньше суммы. Значит,

logc2b2+ logc3b3+ ...+ logcmbm ≥k1+ ...+ kn

а вся сумма из условия тем более не меньше $k1+ ...+ kn.$

При этом если какое-то из $ki$ больше $2,$ сумма логарифмов получается больше, чем в приведённом примере. Значит, если существует какой-то меньший пример, все $ki$ для него также должны быть равны $2$ и

logc2b2+ logc3b3+ ...+ logcmbm ≥k1+ ...+ kn = 2(n − 1)

Однако из этого не следует автоматически, что все логарифмы из этой суммы равны $2,$ поскольку $2⋅2= 2+ 2$ и в этом месте некоторые из наших неравенство обращаются в равенства. Значит, в нашей сумме логарифмов, больших единицы, есть только двойки и четвёрки.

Кроме того, в искомой сумме есть как минимум один логарифм, меньший единицы — это логарифм по самому большому основанию. Он точно не меньше, чем $logana1 = 2n1−1,$ что доказывает оценку.

Ответ:

$2n− 2+-1-- 2n−1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#125073

Решите неравенство

∘ ------- ||∘ ------- || 9 2− log2 x− 2 |4log2x− 7|≤9 log2x− 2|4 2− log2 x− 7|

Источники: Звезда - 2025, 11.1 ( см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала посмотрим на выражения в обеих частях, а также на коэффициенты при них. Вообще, можно заметить, что они имеют похожий вид, в частности, можно поменять местами выражения с модулями (левое перенести в правую часть, правое - в левую, не забыв поменять знаки). Что тогда можно сказать о выражениях в обеих частях? Чем они похожи, как можно обобщить?

Подсказка 2

Видно, что обе части можно выразить через функцию от переменных sqrt(2 - log₂x) и log₂x. Тогда у нас получится неравенство для значений функции при разных аргументах. Что можно сказать о самой функции?

Подсказка 3

Нетрудно доказать, что функция монотонна и возрастающая, поэтому неравенство на значениях равносильно неравенству на аргументах. Оно уже решается гораздо легче, главное — не забыть про ограничения!

Показать ответ и решение

Перепишем неравенство в виде

∘ ------- ∘------- 9 2− log2x+ 2|4 2 − log2x − 7|≤ 9log2x+ 2|4log2x − 7|

Пусть $f(t)=9t+ 2|4t− 7|.$ Тогда неравенство принимает вид:

∘------- f( 2− log2x)≤ f(log2x)

Заметим, что функция $f$ возрастающая, так как при любом раскрывании модуля угловой коэффициент получаемой линейной функции положителен. Следовательно, исходное неравенство равносильно

∘2-−-log-x≤ log x 2 2

Для решения полученного неравенства выпишем систему

(|{ 2− log2 x≥ 0 log2x≥ 0 |( 2− log2 x≤ log22x

В последнем неравенстве сделаем замену $z = log2x,$ получим

z2+ z− 2≥ 0

(z− 1)(z+2)≥ 0

z ∈ (− ∞,−2]∪[1,+ ∞)

Учитывая первые два неравенства из системы, получаем, что $log x∈[1;2]. 2$ Отсюда $x∈ [2;4].$

Ответ:

$[2;4]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#88064

Докажите неравенство

( -1-) ( -1-) -1-- -1-- log2 1+ 2023 +log2 2− 2024 >1 + 2023 − 2024

Источники: Межвед - 2024, 11.3 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какое неравенство хочется доказать для аргумента логарифма, благодаря которому задача будет решена?

Подсказка 2

Попробуем доказать такое неравенство: log₂(x+1) > x, для любого x от 0 до 1. Как его можно доказать? Как вообще доказываются многие неравенства?

Подсказка 3

Мы знаем, что можно понять о возрастании/убывании функции через производную. А именно можно посмотреть на вторую производную какой-то хорошей функции, какой же?

Подсказка 4

Например, на вторую производную функции n+1-2ⁿ. Чему она равна и какой вывод мы из этого можем сделать?

Подсказка 5

Вторая производная равна -ln²2*2ⁿ, которая очевидно меньше 0 на всём промежутке (0;1)

Показать доказательство

Докажем, что для всех $x∈ (0,1)$ верно неравенство

log2(x+1)> x

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Для этого достаточно показать, что $x+ 1> 2x.$ Действительно, пусть $f(x)=x +1− 2x$ , тогда $f′′(x)=− ln22 ⋅2x <0$ , следовательно, $f(x)$ выпукла вверх на отрезке $[0,1].$ Кроме этого $f(0)= 0$ и $f(1)= 1$ , а значит, $f(x)> x$ для всех $x ∈(0;1)$ , а значит, $f(x)>0$ для всех $x∈ (0;1)$ , откуда получаем требуемое.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Так как $-1- 0< 2023 <1$ и $-1- 0 <1− 2024 < 1,$ то применяем доказанное неравенство:

( 1 ) ( 1 ) 1 1 log2 1+ 2023- +log2 1+(1− 2024-) > 2023-+1− 2024

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#92259

Решите неравенство

( 1) ( 1) log9 x + 3 − log3 x− 3 ≥ 1.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 244, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами логарифмическое неравенство. Что делаем первым делом?

Подсказка 2

Записываем ОДЗ, конечно! Теперь на этом множестве можем совершать преобразования. Как будем действовать?

Подсказка 3

Основание первого логарифма является квадратом основания второго логарифма! Можем по свойству логарифмов вынести этот квадратик ;)

Подсказка 4

Чтобы избавиться от неприятного множителя 1/2, мы можем просто домножить обе части неравенства на 2. Тогда у второго логарифма появится коэффициент 2, который уже можем занести в степень аргумента!

Подсказка 5

Получили разность логарифмов с одинаковыми основаниями. Победа! Теперь после преобразования разности логарифмов к логарифму частного мы получим элементарное логарифмическое неравенство!

Подсказка 6

Задача свелась к простому дробно-рациональному неравенству. Остается его решить классическим методом интервалов и не забыть про ОДЗ!

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ:

{ x+ 1> 0 (1 ) x− 31> 0 ⇐⇒ x ∈ 3 ;+ ∞ 3

Умножим наше неравенство на $2,$ преобразуем выражения под знаком логарифма:

2 log (3x+-1)− 2log ( 3x-− 1) ≥ 2 9 3 3 3

(3x +1) log3 --3-- − 2(log3(3x − 1)− 1)≥2

log3(3x +1)− 1− 2 log3(3x− 1)+2 ≥2

( ) log3 -3x+-12 ≥1 =log33 (3x− 1)

Так как функция $log3t$ монотонно возрастает, то

--3x+1---≥ 3 9x2− 6x+ 1

Домножим на положительный (с учетом ОДЗ!) знаменатель:

2 3x+ 1≥27x − 18x +3

2 27x − 21x+ 2≤0

По обратной теореме Виета у квадратного трехчлена в левой части $19,23$ — все его корни. Тогда

[ 1 2] x∈ 9;3

Пересекая с ОДЗ, получаем ответ.

Ответ:

$(1;2] 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#92363

Решите неравенство

(2 ) ( 2 ) logx− 1(2x− 5)+ log4x2− 20x+25 x − 2x+ 1 − log2x−5 4x − 20x+ 25 ≤0.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 246, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала выпишем ОДЗ, куда же без неё? Какие ограничения есть у логарифмов?

Подсказка 2

Помимо положительности аргумента и основания, не забываем, что основание не может быть равно ещё и единице. Остается решить систему, и наша ОДЗ готова! Самое время внимательно посмотреть на аргументы и основания: может быть, их можно как-то преобразовать, чтобы получились везде похожие выражения относительно х?

Подсказка 3

ФСУ — наш лучший друг, а с учетом ОДЗ еще и свойства логарифмов должны прекрасно примениться. Если всё максимально упростить и привести подобные, может быть, удастся применить ещё одно свойство логарифмов?

Подсказка 4

Вынесли степени на ОДЗ, все привели и получили два прекрасных логарифма, причем основание первого является аргументом второго и наоборот. Самое время для замены :)

Подсказка 5

Вспомним, что log_a(b)=1/log_b(a). После замены получится простейшее дробно-рациональное неравенство. Останется сделать только обратную замену!

Подсказка 6

Не забудьте, что знак нестрогий — есть вероятность, что вы что-то потеряли в ответе ;)

Показать ответ и решение

Сначала запишем ОДЗ:

( x − 1⁄= 1 ||||| ||||| x −2 1> 0 |{ 4x2− 20x +25⁄= 1 ||| 4x − 20x +25> 0 ||||| 2x− 5⁄= 1 |||( 2x2− 5> 0 x − 2x+ 1> 0

Так как $x2− 2x+ 1= (x− 1)2,$ $4x2− 20x +25= (2x− 5)2,$ то получаем, что система, указанная выше, эквивалентна следующей:

( x⁄= 2 ||||| |{ x> 1 ||| 2x− 5 ⁄=− 1 |||( x⁄= 35 x> 2

Из третьего неравенства получаем, что $x ⁄=2.$ Тогда, пересекая все неравенства, получаем $x∈ (2,5;3)∪(3;+ ∞).$

Теперь преобразуем исходное неравенство:

( 2) ( 2) logx−1(2x− 5)+ log(2x−5)2 (x− 1) − log2x−5 (2x− 5) ≤ 0

С учетом ОДЗ и свойств логарифма получаем:

logx−1(2x− 5)+ log2x−5(x− 1)− 2log2x−5(2x − 5)≤ 0

logx−1(2x − 5)+ log2x−5(x− 1)− 2≤ 0

Пусть $logx−1(2x− 5)= t.$ Тогда уравнение принимает вид:

t+ 1− 2≤0 t

Приводим к общему знаменателю:

t2−-2t+-1≤ 0 t

(t−-1)2 t ≤ 0

Решив данное неравенство, получаем $t< 0$ или $t= 1.$ Из $t= 1$ получаем $logx−1(2x− 5)= 1,$ откуда $x= 4.$ Теперь сделаем обратную замену для $t<0$ :

logx−1(2x− 5)<0

По методу рационализации:

(x − 2)(2x− 6)< 0

Решаем неравенство и получаем, что $x∈ (2;3).$ Пересекая с ОДЗ, получаем $x∈ (2,5;3).$

Ответ:

$(2,5;3)∪ {4}$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#66208

Решите неравенство

(∘ -2---- ) (--------2--------) log2 x − 4x +3 > log12 √x2-− 4x+ √x+-1+ 1 + 1

Показать ответ и решение

Выражения в знаменателе и под логарифмами заведомо положительны, поэтому ОДЗ достаточно выписать для подкоренных выражений:

{ x2− 4x≥ 0; x+ 1≥0.

Значит, $x∈ [−1;0]∪ [4;+∞ ).$

По свойствам логарифмов

log √-------2--------= − log √-------2--------= 12 x2 − 4x+ √x-+1+ 1 2 x2− 4x+ √x+-1+ 1 = −1+ log2(∘x2-− 4x-+√x-+1-+1).

Тогда исходное неравенство эквивалентно

log (∘x2-− 4x+ 3)> log (∘x2-− 4x-+√x-+1-+1) 2 2

Так как логарифм по основанию $2$ возрастает на своей области определения, то при ограничении на $x$ имеем:

∘-2---- ∘-2---- √---- x − 4x+ 3> x − 4x+ x+ 1+ 1;

2 >√x-+1;

4> x+ 1;

3 >x.

Откуда с учётом ОДЗ $x∈ [−1;0]$ .

Ответ:

$[−1;0]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#90020

Решите неравенство

√ -3+log x 1+log x ( x) 3 ≥ 3 3 .

Источники: ДВИ - 2023, вариант 234, задача 3 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем упростить неравенство: как можно получить одинаковые основания? Заменим √х на 3 в некоторой степени по основному логарифмическому тождеству.

Подсказка 2

Метод рационализации поможет нам перейти к сравнению степеней, какую замену теперь можно сделать?

Подсказка 3

Пусть t = log₃(x), остаётся лишь решить обычное квадратное неравенство. Не забудьте про ОДЗ!

Показать ответ и решение

По основному логарифмическому тождеству и свойствам степеней получаем

log(√x)⋅(3+log x) 1+logx 3 3 3 ≥ 3 3

В силу возрастания показательной функции с основанием 3 неравенство равносильно

log (√x)⋅(3 +log x)≥ 1+ log x 3 3 3

По свойствам логарифмов это эквивалентно

log x ⋅(3+ log x)≥ 2(1+ log x) 3 3 3

После замены $t= log3x$ получаем неравенство

t2+ t− 2≥0

t ≥1 или t≤− 2

После обратной замены

1 x≥ 3 или 0< x≤ 9

Ответ:

$(0;1 ]∪[3;+∞ ) 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#31429

Решите неравенство

√- 6log2xx +2log4 x(2x)≥1.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вроде всего нагромождено, но все равно просматривается то, что повторяется - log₂(x). Поработать нужно с каждым логарифмом по отдельности, но идея одна: сначала избавиться от х в аргументе, вынося его с помощью формул сложения логарифмов, а затем оставшийся логарифм перевернуть и получить в знаменателе log₂(x)

Подсказка 2

Да, таким образом, log₂ₓ(х) мы расписываем как log₂ₓ(2x) + log₂ₓ(1/2) = 1 + log₂ₓ(1/2), а затем переворачиванием получаем 1 - 1/(log₂(x) + 1). Таким же способом расписываем и другое слагаемое.

Подсказка 3

Сделаем замену t = log₂(x). Найдем нужные t методом интервалов и сделаем обратную замену, помня, что логарифм сам по себе может быть любым действительным числом.

Показать ответ и решение

По свойствам логарифмов

1 ---1--- log2xx= log2x2 + 1= 1− log2x+ 1

log4√x(2x)= log4√x 1+ 2= 2−---√1---2= 2− ---6--- 8 log8 x+ 3 log2x+ 4

Поэтому неравенство равносильно

---6--- ---12--- 10− log2x+ 1 − log2x+ 4 ≥1

После замены $t= log2x$ получается

9(t+1)(t+ 4)− 6(t+4)− 12(t+1) --------(t+-1)(t+4)-------- ≥0

--9t(t+-3)--≥ 0 (t+ 1)(t+4)

Решаем методом интервалов и делаем обратную замену:

⌊ log2x< −4 |⌈ −3≤ log2x< −1 0≤ log2x

В итоге

⌊ 0< x< 116 |⌈ 18 ≤x < 12 1≤ x

Ответ:

$(0; 1)∪ [1;1)∪ [1;+∞) 16 8 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#32656

Решите неравенство

( 5 1∕x) xlog1∕2 2 − 2 >1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Ищем ОДЗ, аргумент логарифма должен быть больше 0! Дальше можно поделить обе части неравенства на x! Как тогда можно представить выражение 1/x?

Подсказка 2

Да, 1/x можно представить как логарифм с основанием 1/2. Какой аргумент было бы хорошо придумать для этого логарифма, учитывая то, что x в левой части уравнения находится в степени?

Подсказка 3

Верно, аргумент можно сделать равным 2 в степени -1/x. Тогда перед нами два логарифма, с основанием 1/2. Что делать дальше?

Подсказка 4

Конечно, если основания равны и меньше единицы, то аргумент левой части должен быть меньше аргумента правой части! Осталось сделать замену и пересечь полученный ответ с ОДЗ! (и рассмотреть второй случай, ведь x может быть как положительным, так и отрицательным)

Показать ответ и решение

ОДЗ:

5 1∕x 1 2 − 2 >0 ⇐⇒ x < log2(5∕2)

( 1 ) x∈ (− ∞;0)∪ log(5∕2);+∞ 2

Пусть $x> 0$ . Тогда можем разделить обе части неравенства на $x$ без смены знака:

( ) log1∕2 5− 21∕x > 1 2 x

Так как $1 <1, 2$ то неравенство равносильно:

5 1∕x − 1∕x 2 − 2 < 2

Пусть $1∕x 2 = t> 1$ . Тогда $2 2t − 5t+ 2= (2t− 1)(t− 2)> 0$ . Значит, $t> 2.$ Отсюда $0< x< 1.$

Аналогично при $x <0$ получим $1 t> 2,$ откуда $x< −1.$ Осталось не забыть ОДЗ. В итоге

x∈ (− ∞;−1)∪ (-1-5;1) log2 2

Ответ:

$(−∞;− 1)∪(log 2;1) 52$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#32657

Решите неравенство

1-− 4|x| log7log 12|x|− 7x2 ≤ 0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте слой за слоем убирать логарифмы из неравенства) Логарифм по основанию 7 очень легко убрать: он не больше нуля только тогда, когда его аргумент больше нуля и не больше единицы! Со вторым логарифмом расправляемся также)

Подсказка 2

Должно выйти двойное неравенство, в котором участвуют |x| и x^2...Понятно, что в таком случае стоит сделать замену t = |x|

Подсказка 3

Теперь стоит аккуратно решить каждую из частей неравенства с помощью переноса чисел в числитель дроби и метода интервалов) Также не забудьте про то, что t >= 0

Показать ответ и решение

В силу монотонности логарифмической функции неравенство равносильно

1 − 4|x| 0< log12 |x|−-7x2-≤ 1.

1> 1-− 4|x|2-≥ 1. |x|− 7x 2

Пусть $t=|x|$ . Из левого неравенства

0> 1−-5t+-7t2- t(1− 7t)

Числитель всегда больше $0$ , значит, решением является $1 t∈(−∞; 0)∪ (7;+ ∞)$ .

Решение правого неравенства:

2− 9t+ 7t2 (t− 1)(7t− 2) -t(1−-7t)--=--t(1−-7t)--≥ 0

С учётом пересечения с левым неравенством получаем $(t− 1)(7t− 2)≤ 0$ . Значит, $t∈ [27,1]$ , так что $x∈ [−1,− 27]∪[27,1]$ .

Ответ:

$[−1;− 2]∪ [2;1] 7 7$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#46604

Решите неравенство

( 1 ) ( 1 ) 1− x log8 3 − x log|2x+13| 3 − x > log2∘3(3--1)2. 2x+ 3

Показать ответ и решение

ОДЗ задаётся пересечением условий $x< 1,|2x + 1|⁄∈ {0;1} 3 3$ .

Обозначим $1 1 a = 3 − x,b= |2x+ 3|$ , получим

1 log2a 1 2 3log2a⋅log2-b = 3log2a ⋅logba> log2a− 3log2b ⇐⇒

Далее $u = log2a,v =log2b$ , тогда

-1u2 > u− 2v ⇐ ⇒ v(u− 2v)(u− v)> 0 3v 3

Рассмотрим два случая

Пусть $v >0$ , то есть
$(| log2||2x+ 1||> 0 (| ||2x+ 1||>1 { [ log (13− x) <log ||2x+ 1|| ⇐⇒ { [ 1 −3 x <||2x+ 1|| |( lo2g (31− x) >2l2og||2x+31|| |( 31 − x >(2x+ 31)2 2 3 2 3 3 3$
Заметим, что при $2 x <− 3$ выполнено первое неравенство объединения. Если $2 x≥ −3$ , то из первого неравенства системы верно $1 x> 3$ , что не выполнено из ОДЗ.
Теперь $v < 0$ . Здесь
${ | 1| (|{ ||2x+ 13||< 1 log2|2x| +3|<1|0 (1 ) | 1| ⇐ ⇒ 1− x< ||2x + 1|| 2log2|2x + 3|< log2 3 − x < log2|2x+ 3| |( 31− x> (2x+31)2 3 3$
Решим второе и третье неравенства и получим $x∈ (0, 1-) 12$ , что подходит в первое.

Ответ:

$(−∞;− 2)∪(0; 1) 3 12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#74946

Решите неравенство:

( (-x-))2020 ( ( -x-))2022 2022 4 1− ln 2021 + 1+ ln 2021 ≥ 2

Источники: САММАТ-2022, 11.2 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Очень напрашивается замена страшного логарифма, поэтому давайте будем доверять своим желаниям и сделаем её. Пусть это t. Тогда так как при t = ±1 получается равенство, можно рассмотреть случаи расположения t относительно -1 и 1

Подсказка 2

Можно воспользоваться знанием про равенство при |t| = 1 и оценить левую часть при помощи этого.

Подсказка 3

Сразу сумму скобочек неудобно оценивать, но их можно оценить по отдельности: в каждом из случаев получается, что каждая скобочка больше или меньше 2 в какой-то степени, а в сумме удачно получается 2²⁰²²! А дальше не забываем про обратную замену и выписываем нужные х в ответ

Показать ответ и решение

Пусть $t= ln (-x-) , 2021$ тогда

2020 2022 2022 4(1− t) + (1+t) ≥ 2

Рассмотрим случаи:

$1)$

2020 2022 2022 2022 t≥ 1⇒ 4(1− t) +(1+ t) ≥ (1 +t) ≥2

$2)$

t≤ −1⇒ 4(1− t)2020+(1+ t)2022 ≥ 4(1 − t)2020 ≥22022

$3)$

−1< t< 1

( ( ) ( ) ) 4(1− t)2020+ (1+ t)2022 =22022 1−-t 2020+ 1+-t 2022 < 2 2

( 1− t 1+t) <22022 -2--+ -2-- = 22022

Так как

0< 1−-t<1, 0< 1+-t< 1 2 2

при $− 1< t<1.$

Следовательно, при $− 1< t< 1$ неравенство не выполнятся.

Тогда

⌊ ln(-x-) ≥ 1 |⌈ (2021) ln -x-- ≤ −1 2021

( ] x ∈ 0;2021- ∪[2021e;+ ∞) e

Ответ:

$(0;2021]∪ [2021e;+∞ ) e$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#75110

Решите неравенство

∘-----4 -1 log3xx ≤ log9xx2

Источники: Физтех 2022, 5.2 (olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Логарифмы в обеих частях, с разными основаниями, x содержится и в аргументе, и в основании обоих логарифмов... Давайте "причешем" наше выражение. Для начала разберёмся с основаниями - попробуем вынести оттуда x и привести логарифмы к одному основанию

Подсказка 2

Перейдём, например, к основанию 3 (используя формулу о делении логарифмов с одним основанием), так как оба основания кратны трём. Кажется, всё ещё ничего не видно. Тогда продолжим причёсывать - теперь, когда у всех логарифмов общие основания, попробуем оставить всем логарифмам одинаковый аргумент.

Подсказка 3

Да, можем вынести степени и коэффициенты из аргумента логарифма, оставив везде только х, после чего заменить log₃ x на t - и получим неравенство без логарифмов, которые мы решать уже умеем!

Показать ответ и решение

Переходя в обоих логарифмах к основанию 3, имеем:

∘ ----4- log 1- lologg3x3x ≤-log3x92x 3 3

∘ -4log3x-- −2log3x 1+-log3x ≤ 2-+log3x.

Обозначаем $log3x =t$ и получаем:

∘---- -t--≤ −-t- 1+t 2+t

(| t--≤0, |{ 2+tt-≥0, ||( 1+tt- --t2-- 1+t ≤(2+t)2

( ||{ 2t+t ≤0, | 1t+t ≥0, |( (1(+3tt+)(42)t+t)2 ≤ 0

( |{ t∈(−2;0], | t∈(−∞; −1)∪[0;+∞ ), ( t∈(−∞; −2)∪(−2;− 43]∪(−1;0],

4 t∈(−2;−3]∪ {0}

Возвращаясь к переменной $x$ , окончательно получаем:

[ −2 <log3x≤ − 43, log3x =0

[ 3√- 19 <x ≤ 99, x =1.

Ответ:

$(1; 3√9]∪{1} 9 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#80058

Решите неравенство

( )log9(-12−6+9x2) 1 x ≥ 1. 3 x

Показать ответ и решение

Условие существования логарфма:

1 2 x2-− 6+ 9x > 0

(1 )2 x − 3x >0

( ||{ x ⁄= 0 | x ⁄= 1√3 |( x ⁄= − 1√3

(1)log9x12−6+9x2 ( 1- 2)log9 13 3 = x2 − 6+ 9x

( )−0,5 (1− 3x)2 =|--1--| x |1x − 3x|

||11--|| ≥ 1x x − 3x

Случай $x< 0$ с исключением ОДЗ нам подходит, так как слева всегда больше $0$ .

Рассмотрим случай $x> 0$

||| 1 ||| |3x −x |≤x

В этом случаем получаем

⌊ 1 1 ⌈ √3 < x≤ √2 12 ≤ x< √13

Ответ:

$(− ∞;− 1√-)∪(− 1√-;0) ∪[1;√1)∪ (√1;√1] 3 3 2 3 3 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#90021

Решите неравенство

√--- √--- log 6−x(6+x)+ log 6+x(6 − x)≤ 5.

Источники: ДВИ - 2022, вариант 225, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Начнём, как всегда, с ОДЗ! Следующим шагом стоит избавиться от корней в основании логарифмов, какое свойство нам в этом поможет?

Подсказка 2

Попробуйте сделать замену: t = log₆₋ₓ(6 + x), после применения свойства логарифмов перед нами будет обычное рациональное неравенство, решите его!

Подсказка 3

Аккуратная работа с обратной заменой поможет нам добить задачу

Показать ответ и решение

После замены $t= log (6+ x) 6−x$ по свойствам логарифмов получаем неравенство

2 2t+ t ≤5

2 5 t-−-2t+1 ≤0 t

По методу интервалов

t< 0 или 1≤ t≤ 2 2

По методу рационализации на ОДЗ $x∈ (− 6;6)∖{−5;5}$ получаем

(6− x− 1)(6+ x− 1)< 0 или (6− x− 1)((6+x)− (6− x)2)≤0,(6− x − 1)((6+ x)2− (6− x))≥ 0

(5 − x)(5 +x)< 0 или (x− 5)(x2− 13x +30)≤ 0,(x− 5)(x2+13x+ 30)≤0

Первое условие после пересечения с ОДЗ дает решения $5< |x|<6,$ которые сразу заносим в ответ. Если же первое условие не выполнено, то $x − 5≤ 0,$ поэтому второе условие при $x ⁄= 5$ ( $x= 5$ всё равно не входит в изначальную ОДЗ) эквивалентно системе

x2− 13x+ 30 ≥0,x2+ 13x+ 30≥ 0

решения которой

x∈ [−3;3]

тоже добавляем в ответ.

Ответ:

$(−6;−5)∪[−3;3]∪(5;6)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#90591

Решите неравенство

∘---2----2----2----- 2 3ln(x− 1) +ln(x+ 1)>ln(x − 1) + ln(x+1).

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x⁄= 1,x >− 1$

Если

2 3 2 (x +1)(x − 1) = x − x − x+ 1< 1,

то правая часть

2 2 ln(x− 1) +ln(x +1)= ln(x+ 1)(x− 1) < 0

равенство выполняется. Тогда

x(x2− x +1)< 0

x∈ (−1,1∕2(1− √5)∪(0,1∕2(1+√5 )

Если

(x+ 1)(x− 1)2 ≥1,

то правая часть неотрицательная, и значит, можно восвести в квадрат

2ln2(x − 1)2− 2ln(x− 1)2ln(x+ 1)= 2ln(x− 1)2(ln(x − 1)2− ln(x +1))> 0

Это можно переписать как

((x− 1)2 − 1)((x− 1)2− x− 1)=x(x− 2)x(x− 3)>0

Значит, $x⁄= 0$ и $x> 3$ или $x <2$ . Если объединить два случая, то получится $x∈ (−1,2)∪ (3,+∞ )$

Ответ:

$(−1;2)∪ (3;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#91386

Решить неравенство

log 7 log√-49 3+ 2⋅4 x − 2 x ≥ 0

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x> 0$ и $x⁄= 1$ .

- log√x49= 2logx49= 4logx7

Значит,

log 7 log√-49 2log7 4log 7 3 +2⋅4 x − 2 x = 3+ 2⋅2 x − 2 x ≥ 0

Пусть $t=22logx7$ . Тогда

3+ 2t− t2 = −(t− 3)(t+ 1)≥0

Отсюда $t∈[−1,3]$ . $t= 22logx7 >0$ , поэтому нам подходят $x >0$ такие, что $2logx7 ≤log23$ или $logx 7≤ 12log23= log43$ .

Если $0< x< 1$ , то левая часть отрицательная, а правая положительная и такие $x$ подходят. Если $x> 1$ , то $logx7= lologg37x ≤ log43 3$ и неравенство можно домножить на положительное $log3x$ . Тогда $log37≤ log43log3x =log4x$ . Отсюда $x≥ 4log37$

Ответ:

$x ∈(0;1)∪ [7log34;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#92046

Решите неравенство

( x 2+2x) ( x 2+x 2+2x) x≥ log2 101⋅10 − 10 − log5101⋅2 − 5 ⋅2

Показать ответ и решение

( x 2+2x) ( x 2+x 2+2x) 0 ≥log2 101⋅10 − 10 − log5 101 ⋅2 − 5 ⋅2 − x

( x 2+2x) ( x 2+x 2+2x) 0≥ log2 101⋅10 − 10 − (log5 101 ⋅2 − 5 ⋅2 + x)

( x 2+2x) ( x x 2+x 2+2x x) 0≥ log2 101 ⋅10 − 10 − log5101⋅2 ⋅5 − 5 ⋅2 ⋅5

0 ≥log (101⋅10x − 102+2x)− log (101 ⋅10x− 102+2x) 2 5

log2(101⋅10x− 102+2x)≥ log5(101⋅10x− 102+2x)

Так как выражение под логарифмами одинаковое, но $log2t≥log5t$ , то $t≤ 1$ .

101⋅10x− 102+2x ≤ 1

0≤ 100⋅102x− 101⋅10x+ 1=(100⋅10x − 1)(10x− 1)

Значит, либо $x≥ 0$ , либо $x ≤− 2$ .

Ответ:

$(−∞;− 2]∪ [0;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#64114

Найдите все пары действительных чисел $(x,y)$ с наименьшим возможным значением $y$ , удовлетворяющие неравенству

( 2 7) logx2−y x− y + 4 ≥ 1

Источники: ДВИ - 2021, вариант 215, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

От чего зависит сохранение или изменение знака неравенства в работе с логарифмами? Рассмотрите соответствующие два случая в зависимости от основания log.

Подсказка 2

Попробуйте графически изобразить неравенство равносильное нашему для случая, когда основание логарифма больше 1. Для этого выделите полные квадраты. Значение у должно быть наименьшим, значит нас интересует самая нижняя точка графика. Удовлетворяет ли она условию, заданному основанием логарифма?

Подсказка 3

Рассмотрите второй случай: основание log меньше 1. Обратите внимание, могут ли при этом получиться у меньшие или равные найденного ранее минимума? Запишите итоговый ответ.

Показать ответ и решение

При $y < x2− 1$ неравенство равносильно $x− y2+ 7≥ x2− y 4$ , то есть

1 2 1 2 3 2 (x −2) + (y −2 )≤ (2)

Это неравенство задаёт круг с центром $1 1 (2; 2)$ и радиусом $3 2.$ Самая нижняя точка имеет координаты $1 (2; −1)$ и удовлетворяет ограничению $2 y <x − 1$ .

$PIC$

При $y > x2− 1$ для каждой пары $(x,y)$ , удовлетворяющей исходному неравенству, справедливо $y > −1$ . Стало быть, искомое множество состоит ровно из одной точки $(1; −1). 2$

Ответ:

$(1;−1) 2$