Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела логарифмы
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#74946

Решите неравенство:

 (     (-x-))2020  (    ( -x-))2022   2022
4 1− ln  2021     +  1+ ln  2021     ≥ 2

Источники: САММАТ-2022, 11.2 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Очень напрашивается замена страшного логарифма, поэтому давайте будем доверять своим желаниям и сделаем её. Пусть это t. Тогда так как при t = ±1 получается равенство, можно рассмотреть случаи расположения t относительно -1 и 1

Подсказка 2

Можно воспользоваться знанием про равенство при |t| = 1 и оценить левую часть при помощи этого.

Подсказка 3

Сразу сумму скобочек неудобно оценивать, но их можно оценить по отдельности: в каждом из случаев получается, что каждая скобочка больше или меньше 2 в какой-то степени, а в сумме удачно получается 2²⁰²²! А дальше не забываем про обратную замену и выписываем нужные х в ответ

Показать ответ и решение

Пусть t= ln (-x-) ,
      2021  тогда

     2020       2022  2022
4(1− t)   + (1+t)   ≥ 2

Рассмотрим случаи:

1)

           2020       2022      2022  2022
t≥ 1⇒ 4(1− t)   +(1+ t)   ≥ (1 +t)   ≥2

2)

t≤ −1⇒ 4(1− t)2020+(1+ t)2022 ≥ 4(1 − t)2020 ≥22022

3)

−1< t< 1

                        ( (    )     (    )   )
4(1− t)2020+ (1+ t)2022 =22022  1−-t 2020+  1+-t 2022 <
                            2          2

     ( 1− t  1+t)
<22022  -2--+ -2-- = 22022

Так как

0< 1−-t<1,  0< 1+-t< 1
    2           2

при − 1< t<1.

Следовательно, при − 1< t< 1  неравенство не выполнятся.

Тогда

⌊ ln(-x-) ≥ 1
|⌈   (2021)
  ln -x-- ≤ −1
     2021

   (     ]
x ∈ 0;2021- ∪[2021e;+ ∞)
       e
Ответ:

(0;2021]∪ [2021e;+∞ )
    e

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!