Сложные логарифмические неравенства
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите неравенство
Источники:
Подсказка 1
Какое неравенство хочется доказать для аргумента логарифма, благодаря которому задача будет решена?
Подсказка 2
Попробуем доказать такое неравенство: log₂(x+1) > x, для любого x от 0 до 1. Как его можно доказать? Как вообще доказываются многие неравенства?
Подсказка 3
Мы знаем, что можно понять о возрастании/убывании функции через производную. А именно можно посмотреть на вторую производную какой-то хорошей функции, какой же?
Подсказка 4
Например, на вторую производную функции n+1-2ⁿ. Чему она равна и какой вывод мы из этого можем сделать?
Подсказка 5
Вторая производная равна -ln²2*2ⁿ, которая очевидно меньше 0 на всём промежутке (0;1)
Докажем, что для всех 
верно неравенство
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Для этого достаточно показать, что 
Действительно, пусть 
, тогда 
, следовательно,
выпукла вверх на отрезке ![[0,1].](/api/latex-service/v1/GetSession/174504/index-3e2e3583675af999446022a7dcd01f3c.svg)
Кроме этого 
и 
, а значит, 
для всех 
, а значит, 
для
всех 
, откуда получаем требуемое.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Так как 
и 
то применяем доказанное неравенство:
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
