Тема Логарифмы

Сложные логарифмические неравенства

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела логарифмы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#64114Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары действительных чисел $(x,y)$ с наименьшим возможным значением $y$ , удовлетворяющие неравенству

( 2 7) logx2−y x− y + 4 ≥ 1

Источники: ДВИ - 2021, вариант 215, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

От чего зависит сохранение или изменение знака неравенства в работе с логарифмами? Рассмотрите соответствующие два случая в зависимости от основания log.

Подсказка 2

Попробуйте графически изобразить неравенство равносильное нашему для случая, когда основание логарифма больше 1. Для этого выделите полные квадраты. Значение у должно быть наименьшим, значит нас интересует самая нижняя точка графика. Удовлетворяет ли она условию, заданному основанием логарифма?

Подсказка 3

Рассмотрите второй случай: основание log меньше 1. Обратите внимание, могут ли при этом получиться у меньшие или равные найденного ранее минимума? Запишите итоговый ответ.

Показать ответ и решение

При $y < x2− 1$ неравенство равносильно $x− y2+ 7≥ x2− y 4$ , то есть

( 1)2 ( 1 )2 (3)2 x− 2 + y −2 ≤ 2

Это неравенство задаёт круг с центром $( ) 12; 12$ и радиусом $32.$ Самая нижняя точка имеет координаты $( ) 12; − 1$ и удовлетворяет ограничению $y <x2 − 1$ .

$PIC$

При $2 y > x − 1$ для каждой пары $(x,y)$ , удовлетворяющей исходному неравенству, справедливо $y > −1$ . Стало быть, искомое множество состоит ровно из одной точки $(1 ) 2; −1 .$

Ответ:

$(1;−1) 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#31472Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство:

log2x 16 − log4x8≤ 1.

Источники: ДВИ - 2020, вариант 201, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала, конечно же, находим ОДЗ! Но, заметим, что основания двух логарифмов разные, и при этом каждый из них содержит x. Что можно сделать, чтобы было удобнее работать с x?

Подсказка 2

Да, по свойству логарифмов мы можем перевернуть каждый из них и x перейдет в аргумент! Что будем делать дальше, чтобы получить какое-то хорошее неравенство, где например, можно было бы сделать замену?

Подсказка 3

Конечно, давайте распишем каждый из логарифмов таким образом: logₐ(xy) = logₐx + logₐy. Дальше давайте просто сделаем замену вида: t = logₐx, решим неравенство и пересечём ответ с ОДЗ!

Показать ответ и решение

Найдём ОДЗ: $x∈ (0;1)∪ (1;1)∪ (1;+∞ ) 4 4 2 2$ . Далее перевернём логарифмы и используем свойства логарифмов:

---1-- ---1- ----1--- ---1---- ---4--- ---3--- log162x −log84x ≤ 1⇔ 14 +log24x − 23 + log23x ≤ 1⇔ 1 +log2x − 2+ log2x ≤ 1

Заменим $log2x$ на $t$ и получим дробно-рациональное неравенство:

2 2 --4-− --3-≤ 1⇔ ---t+-5---− -t-+3t+-2-≤ 0⇔ -t-+-2t−-3-≥ 0⇔ 1 +t 2+ t (t+ 1)(t+2) (t+1)(t+ 2) (t+1)(t+2)

(t− 1)(t+3) ⇔ (t+1)(t+2) ≥ 0 ⇔ t∈ (−∞;−3]∪ (−2;−1)∪[1;+ ∞)

Теперь сделаем обратную замену и получим:

1 1 1 1 1 1 log2x ∈(−∞;log2 8]∪(log24;log22)∪ [log22;+∞ ) ⇔ x∈ (0;8]∪ (4 ;2)∪ [2;+∞ ).

Ответ:

$(0;1]∪ (1;1)∪ [2;+∞ ) 8 4 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#102524Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

log2x log x (2 ) 2 2 − 12⋅x 0,5 < 3− log3− x x − 6x+ 9 .

Источники: Межвед - 2020 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте преобразуем выражения слева и справа так, чтобы логарифмов с разными основаниями стало как можно меньше. Кстати, как можно избавиться от логарифма в квадрате?

Подсказка 2

Чтобы избавиться от логарифма в квадрате, можно возвести двойку лишь в одну из двух степеней! Также можно выражение преобразовать так, чтобы остались логарифмы только по основанию 2.

Подсказка 3

Теперь у нас есть x в противоположных по знаку степенях, сразу напрашивается замена! А чему равна правая часть выражения?

Подсказка 4

Замените на y степень икса. Тогда остается решить несложное неравенство! Не забудьте про ОДЗ и обратную замену ;)

Показать ответ и решение

2log22x− 12 ⋅xlog0,5x <3− log (x2− 6x +9)⇔ log x − logx 3−x 2 x 2 −{ 12 ⋅x 2 < 3− log3−x(3− x) ⇔ xlog2x− 12 ⋅x− log2x < 1 (1) ⇔ x< 3,x⁄= 2 (2).

Решим неравенство (1) системы. Обозначим $xlog2x = y,y >0$ . Тогда

(1)⇔ y− 12< 1 y

(y+-3)(y− 4) y <0

Так как $y > 0$ , то $y ∈ (0;4)$ . Отсюда

√ - √- xlog2x <4⇔ log22x< 2⇔ − 2< log2x< 2 ⇔

$−√2- √2 2 < x< 2$ — это ответ в неравенстве (1).

Далее учтем ограничения (2). Для этого сравним числа $√2 2$ и $3.$

Заметим, что $2√2 < 21,5$ и $21,5 < 3$ , так как $8= (21,5)2 <$ $32 = 9$ . Поэтому $2√2 <3$ . Запишем ответ с учетом (2).

Ответ:

$(2−√2;2)∪ (2;2√2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#33671Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( ( 2) ( 2) ) ( 3x2- 4x- 5) log32x2− 43x+ 56 1+4x ⋅log32x2− 43x+56 1− 4x + 1 log1−16x4 2 − 3 + 6 ≥ 1.

Источники: Физтех-2019, 11.5, (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу можно заметить, что в основаниях и в аргументах логарифмов находятся три одинаковых выражения. Тогда попробуем сделать замену на 3 новые переменные и решать относительно них.

Подсказка 2

Преобразуя наше неравенство, мы получаем слева дробь, а справа 0. Теперь нужно как-то избавиться от логарифмов и привести всё к рациональному виду. Какой метод для этого можно применить?

Подсказка 3

Верно! Метод рационализации. Теперь уже можно сделать обратную замену и воспользоваться методом интервалов. Осталось лишь технически довести, не забывая про ОДЗ!

Показать ответ и решение

ОДЗ логарифмов неравенства определяется условиями

2 1 1 1− 4x > 0 ⇐ ⇒ − 2 < x< 2, 1− 4x2 ⁄=1 ⇐ ⇒ x ⁄=0 1+ 4x2 >0 ⇐⇒ x ∈ℝ 2 1+ 4x ⁄=1 ⇐ ⇒ x ⁄=0 3x2 − 4x + 5> 0 ⇐⇒ x∈ ℝ 2 3 6 { 3x2− 4x+ 5 ⁄=1 ⇐ ⇒ x ⁄= − 19 2 3 6 x ⁄= 1

В итоге получаем $( ) x ∈ − 12;12$ и $x⁄= 0,x⁄= − 19$ .

Обозначим $2 3x2-− 4x3 + 56 = u,1+ 4x2 =v,1− 4x2 =w$ . Записываем и преобразуем неравенство:

(loguv ⋅logu w+ 1)logvw u≥ 1 ⇐⇒ loguv-⋅logu-w+-1− 1≥ 0 loguvw

loguv⋅loguw-+1-− logu-v− logu-w-≥0 ⇐⇒ (loguv−-1)(loguw−-1)≥ 0 loguvw loguvw

Для решения этого неравенства далее применяем метод рационализации: знак разности $logab−$ $logac$ на области допустимых значений совпадает со знаком выражения $b−c a−1$ ; в частности (при $c= 1)$ , знак логарифма $logab$ совпадает со знаком выражения $b−1 a−1$ . Тогда из последнего неравенства получаем $(u−1)(v−u)(u−1)(w−u) (v− u)(w− u) ---(u−1)(vw-−1)----≥ 0 ⇐⇒ (u−1)(vw−1) ≥ 0$ . Подставляем сюда выражения для $u,v,w$ и решаем получаюшееся неравенство:

( 2 )( 2 ) -5x2-+-43x+-16--−-11x2-+-43x+-16- (3x2− 4x− 1)(−16x4) ≥0 2 3 6

(15x2+-8x-+1)(33x2-− 8x−-1) x2(9x2− 8x− 1) ≥ 0

(5x+1)(3xx2(x+−1)1(3)(x9−x+1)(11)1x+-1) ≥0

( ] [ ) [ ) ( ] x∈ −∞;− 1 ∪ − 1;− 1 ∪ − 1;0 ∪ 0;1 ∪ (1;+∞ ) 3 5 9 11 3

С учётом ОДЗ остаётся

( 1 1] [ 1 1) [ -1 ) ( 1] x∈ −2;−3 ∪ −5 ;− 9 ∪ −11;0 ∪ 0;3

Ответ:

$(− 1;− 1]∪[− 1;− 1)∪[−-1;0)∪ (0;1] 2 3 5 9 11 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#80055Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( 5) ( 2) ( 5) log1+x2 1+ 27x + log1−2x2+27x4 1+ x ≤ 1+log1−2x2+27x4 1+27x .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В огромных выражениях полезно искать похожие кусочки. Выполните замену.

Подсказка 2

u=1+x²; v=1-2x²+27x⁴; w=1+27x⁵. Преобразуйте выражение к более лаконичному виду.

Подсказка 3

После преобразования к более-менее адекватному виду, разложив на скобочки, воспользуйтесь методом рационализации.

Подсказка 4

Отлично, получили: (w-u)(v-u)/(u-1)(v-1)≤0. Подставьте обратную замену и снова преобразуйте выражение. Учтите ОДЗ!

Показать ответ и решение

Пусть $1+ x2 = u,1− 2x2+ 27x4 =v,1+ 27x5 = w$ . Тогда неравенство принимает вид $log w+ log u − log w − 1≤0. u v v$ Далее его можно преобразовать так:

1 loguw loguvlogu w+ 1− loguw− loguv loguw+ logu-v − loguv-− 1≤0 ⇔----------loguv-----------≤ 0⇔ (logu-w−-1)(loguv-− 1) ⇔ loguv ≤ 0⇔ (logu-w−-loguu)(loguv−-loguu) ⇔ loguv ≤ 0.

Для решения этого неравенства далее применяем метод рационализации: знак разности $logab−$ $logac$ на области допустимых значений совпадает со знаком выражения $ba−−c1;$ в частности (при $c= 1$ ), знак логарифма $logab$ совпадает со знаком выражения $ba−−11$ . Тогда из последнего неравенства получаем

(w-−-u)(v−-u)≤ 0 (u− 1)(v− 1)

ОДЗ исходного неравенства задаётся условиями $u >0,v > 0,w > 0,u ⁄=1,v ⁄= 1.$ При этом последние два ограничения выполнены автоматически для любого решения, так как при $u =1$ или $v = 1$ знаменатель дроби обращается в ноль. Помимо этого $u= 1+x2$ и $v =$ $1− 2x2+ 27x4$ положительны при всех значениях $x.$ Следовательно, единственное ограничение из ОДЗ, которое необходимо учесть, - это неравенство $1+27x5 > 0,$ откуда $x > −5√1-. 27$ Решаем неравенство:

(27x5+-1−-x2− 1)(1−-2x2-+27x4−-1− x2) 3x4(27x3− 1)(9x2−-1) (1+ x2− 1)(1− 2x2+27x4− 1) ≤ 0⇔ x4(27x2− 2) ≤0 ⇔ ({ (|{ x⁄= 0, ⇔ x(3⁄=x0−,1)(9x2+3x+1)(3x+1)(3x−1) ⇔ (-(3x+1))(3(x−1)2-) ≤ 0 ⇔ ( -------(27x2−2)--------≤ 0 |( x−∘227 x+∘227 ({ ⇔ x ⁄=0(, ] ( ∘-- ∘--) { } ( x ∈ −∞;− 13 ∪ − 227; 227- ∪ 13 .

С учётом ОДЗ окончательно получаем $( ] ( ∘ -- ) ( ∘--) { } x∈ −-5√127;− 13 ∪ − 227;0 ∪ 0; 227-∪ 13 .$

Ответ:

$x ∈(− √1-;− 1]∪(− ∘-2;0)∪(0;∘-2) ∪{1} 327 3 27 27 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#31473Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство:

√ - √-log√- √-x √- √- log(√3+√2) ( 3+ 2) 3− 2 ≥ ( 3− 2) x

Источники: ДВИ - 2018, задача 4 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, даже не понятно с чего начать… Но почему-то в этом неравенстве встречаются только два числа: √3 - √2 и √3 + √2. Что можно сказать про эти числа?

Подсказка 2

Да, эти числа являются обратными, потому что их произведение равно единице! Тогда, эти два числа удобно представить, как: a и a⁻¹
Сделайте такую замену и попробуйте её проанализировать. Какие случаи нужно разбирать?

Подсказка 3

Верно, поскольку a=√3 + √2 > 1, то чтобы исходное неравенство было верно, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство: logₓa ≥ logₐx. Осталось применить еще одно свойство логарифмов, и будет сильно проще!

Подсказка 4

Конечно, logₐx=1/logₓa. Тогда сделаем замену, найдём решения и сделаем обратную замену!

Показать ответ и решение

Заметим, что по формуле разности квадратов

√- √- √- √- ( 3+ 2)( 3− 2)= 3− 2 =1.

Тогда неравенство из условия имеет вид

logc−1x −1logxc − logcx − logxc c ≥(c ) ⇔ c ≥c

где $c =√3-+√2$ . Так как $c> 1,$ то неравенство равносильно:

− logx ≥− log c ⇔ log c≥ log x ⇔ -1--≥ log x c x x c logcx c

Если заменить $logcx$ на $t$ , то неравенство примет вид:

1 (t− 1)(t+1) t − t≥ 0 ⇔ -----t----≤ 0 ⇔ t∈(−∞;− 1]∪ (0;1]

Теперь сделаем обратную замену:

logcx∈ (− ∞;logcc−1]∪ (logc1;logcc]

Так как $c> 1$ , то неравенство равносильно

x∈(0;1c]∪(1;c]

Вспомним, что $√- √- c= 3+ 2$ , чтобы записать ответ.

Ответ:

$(0;√3-− √2]∪(1;√3 +√2]$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#44065Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( 2 ) log2x logx log94+ 16− log32 log1623≤64 4 − 15⋅x 4

Источники: Физтех-2017, 11.3 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу стоит записать ОДЗ. Неравенство состоит из очень разнообразных слагаемых, так что хочется привести их к похожему виду. Как можно преобразовать степень 64? Слева же хочется преобразовать логарифм по основанию 162, т.к. такое число у нас больше нигде не встречается.

Подсказка 2

Пусть у нас справа будет замена t = x в степени log₄x. Перепишите тогда правую часть выражения!

Подсказка 3

Посмотрим на логарифмы, слева у нас даже нет х. То есть, там записано некоторое число! Давайте попробуем привести их к хорошему виду и посчитать! Для этого стоит попробовать выразить все логарифмы через log₃2

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x> 0$ .

Поскольку $log24x 3log4x 64 =x$ , то сделаем замену $log4x t= x > 0$ . По свойствам логарифмов $--1-- ---1-- log162 3= log3162 = 4+log32$ , поэтому левая часть принимает вид

(4− log3 2)(4+log3 2) log32+ -----4+log3-2-----=4

Таким образом, получаем неравенство

t3 − 15t− 4 ≥0

Подбором находим корень $t= 4$ , откуда

(t− 4)(t2+ 4t+1)≥ 0

Заметим, что при $t> 0$ вторая скобка всегда положительна, потому решениями будут $t≥4$ . Подставим

log x x 4 ≥4 ⇐⇒ log4x⋅log4x ≥1 ⇐ ⇒ |log4x|≥ 1

В итоге

x ∈(0;1]∪[4;+∞ ) 4

Ответ:

$(0;1]∪ [4;+∞ ) 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#63471Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

2 2 2 7 x log4x+ 10log3x≤ xlog4x⋅log3x

Источники: ДВИ - 2017, вариант 4, задача 4 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Неравенство с квадратичными выражениями обычно хотим разложить на множители, но этому явно будет мешать 7ая степень аргумента! Стоит её вынести и попробовать разложить на множители, перенеся все в одну сторону от знака неравенства.

Подсказка 2

Разложить на множители можно с помощью выделения полного квадрата с последующим применением формулы разности квадратов или методом группировки. Теперь есть 2 логарифма с одинаковыми аргументами, но разными основаниями, а хотим наоборот, одинаковые основания! Как можем к ним перейти?

Подсказка 3

С помощью “переворота”, конечно! Применяем свойство (не забывая проверить случай х = 1!) и замечаем, что если теперь домножить на один из знаменателей все выражение, то одна дробь уйдет, а вторая будет очень похожа на свойство логарифма!

Подсказка 4

Переходим к новому основанию по свойству логарифма и получаем привычное квадратное неравенство. Остается лишь решить его удобным способом и задачка убита!

Показать ответ и решение

По свойствам логарифмов неравенство эквивалентно

2 2 2 x log4 x+10log3x − 7xlog4 x⋅log3x≤ 0

Заметим, что $x= 1$ является решением.

При $x⁄= 1$ поделим на $log2x> 0 4$ и получим

2 2 x + 10c− 7xc≤0,

где по формуле перехода при всех допустимых значениях $x$ имеем число

c= log3x-= logx4= log 4 >0 log4x logx3 3

Уравнение $2 2 x + 10c − 7xc =0$ имеет корни $7c±3c x = 2$ , поэтому неравенство равносильно

(x− 2c)(x− 5c)≤ 0

По методу интервалов $x∈ [2c;5c].$

В итоге с учётом $x= 1= log33< log34= c< 2c$ получаем $x ∈{1}∪ [2log34;5log34].$

Ответ:

${1}∪[2log 4;5log 4] 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#64037Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

2 2 2 4 x log7x +3log6x ≤x log7x⋅log6x

Источники: ДВИ - 2017, вариант 1, задача 4 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сначала сделаем аргументы всех логарифмов одинаковыми. Теперь посмотрите внимательно на наше неравенство, как мы можем его преобразовать? Может быть будет удобно на что-то его поделить?

Подсказка 2

Если поделить неравенство на (log₇x)², то неравенство станет квадратным! (Только не забудьте отдельно рассмотреть случай, когда (log₇x)² = 0) Теперь может спокойно решить его методом интервалов :)

Показать ответ и решение

По свойствам логарифмов неравенство эквивалентно

2 2 2 x log7x+ 3log6x− 4xlog7x⋅log6x ≤0

Заметим, что $x= 1$ является решением.

При $x⁄= 1$ поделим на $log2x> 0 7$ и получим

2 2 x +3c − 4xc≤ 0,

где по формуле перехода при всех допустимых значениях $x$ имеем число

c= log6x-= logx7= log 7 >0 log7x logx6 6

Уравнение $2 2 x + 3c − 4xc=0$ имеет корни $4c±2c x= 2$ , поэтому неравенство равносильно

(x − c)(x − 3c)≤0

По методу интервалов $x∈ [c;3c].$

В итоге с учётом $x= 1= log66< log67= c$ получаем $x∈ {1}∪ [log6 7;3log67].$

Ответ:

${1}∪[log 7;3log 7] 6 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#69993Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

ln(x2−2x) ln(π−3) (π − 3) ≤(2− x)

Источники: ПВГ-2017, 11.3 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим, что правая и левая часть очень похожи скобочками. Какое свойство логарифма можно применить, чтобы сделать их еще более похожими?

Подсказка 2

a^(log_b{c})=c^(log_b{a}). После этого мы можем перейти к неравенству логарифмов, которое несложно решить)

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ:

{ 2− x> 0 { x< 2 2 ⇐⇒ ⇐ ⇒ x <0 x − 2x> 0 x< 0

Вспомним свойство логарифма:

logcb logab a = c

На ОДЗ неравенство равносильно

(π − 3)ln(x2−2x) ≤(π− 3)ln(2−x)

И так как $0< π− 3 <1$ , неравенство на ОДЗ равносильно

ln(x2− 2x)≥ln(2 − x)

Что в свою очередь равносильно

x2− 2x ≥2 − x

x2− x− 2≥ 0

x ∈(−∞; −1]∪[2; +∞ )

Пересекая с ОДЗ, получаем ответ.

Ответ:

$(−∞; − 1]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#104847Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

log x 3√-log2√-x log 3√x x 3 − 2≤ ( 3) 3 − 2⋅x 3 .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Было бы хорошо привести все логарифмы к одинаковому или похожему виду, чтобы начать преобразовывать выражение целиком!

Подсказка 2

Попробуем сделать так, чтобы степени имели в себе log по основанию 3 в квадрате! Тогда можно будет перенести всё в левую часть и начать раскладывать на множители ;)

Подсказка 3

Отлично, выражение разложено, а произведение скобок отрицательно! Теперь можно разобрать случаи их знаков ;)

Показать ответ и решение

Перепишем неравенство в виде

log2x 4log2x 1log2x 3 3 − 2− 33 3 + 2⋅33 3 ≤ 0

Сгруппировав первый член с третьим, а второй — с четвёртым, раскладываем левую часть неравенства на множители:

(3log23x− 2)(1 − 313log23x) ≤0

Далее возможны два случая.

а) ${ 3log23x − 2≥ 0, { log2x ≥log 2, [ log x≥ ∘log-2, [ x ≥3√log32, 1− 313log23x ≤0 ⇔ log32x ≥0 3 ⇔ log3x≤ −∘lo3g-2 ⇔ x ≤3−√log32; 3 3 3$

б) ${ log2x { 2 3 3 1−lo 2g≤2x0, ⇔ log32x ≤log32, ⇔ log3x =0 ⇔ x= 1 1− 33 3 ≥0 log3x ≤0$

Объединяя результаты, получаем

x ∈(0;3−√log32]∪{1}∪[3√log32;+∞ )

Ответ:

$(0;3−√log32 ] ∪{1}∪[3√log32;+ ∞)$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#44064Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

(x2 − 2)(2x− 3) logx22−x−23------4-------≥1.

Источники: Физтех-2016, 11.1 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Заметим, что у нас в основании логарифма те же скобки! Давайте сделаем замену для удобства. Пусть а = x²-2, b = 2x-3. Перепишите полученное неравенство!

Подсказка 2!

2) В этой задаче очень важно учесть ОДЗ, оно довольно громоздкое.. Не забудьте про неравенство a и b!

Подсказка 3!

3) А теперь вернемся к нашему неравенству. Попробуйте доказать, что а больше b на нашем ОДЗ, а затем подставить в логарифм b вместо a! Подумайте, почему так можно, а затем аккуратно разберитесь с остатками задачи!

Показать ответ и решение

Сделаем замену $a= x2− 2,b= 2x− 3$ . ОДЗ: $a⁄= b,ab> 0$ . При этом $a − b= x2− 2x+1 >0$ (на ОДЗ), то есть $a> b$ . Неравенство принимает вид

ab b2 |b| loga∕b 4-− 1 ≥0 ⇐⇒ loga∕b4-≥ 0 ⇐⇒ loga∕b-2 ≥0

Рассмотрим случаи с учётом $a> b$

$b< a< 0$ . Здесь $a b < 1$ , то есть неравенство принимает вид
$− b ≤1 ⇐ ⇒ b≥ −2 2$
То есть $− 2 ≤2x− 3< 0$ и $1 3 2 ≤ x< 2$ . Также $2 1√ - a= x − 2< 0 =⇒ x∈ (2, 2)$ .
$b< 0< a$ . Этот случай невозможен из ОДЗ.
$0 <b< a$ . Здесь $a b > 1$ , тогда
$b ≥1 ⇐ ⇒ b≥ 2 2$
Тогда $2 ≤2x− 3$ и $5 x≥ 2$ . Условие $a> 0$ выполнено автоматически.

Заметим, что мы не проверили условие $a ⁄=b$ . Проверим

2 a = b ⇐ ⇒ x − 2x+ 1= 0 ⇐⇒ x= 1-нужно исключить

В итоге $x∈ [1,1)∪(1,√2)∪ [5,+ ∞) 2 2$ .

Ответ:

$[1,1)∪ (1,√2)∪ [5,+∞ ) 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#31430Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

log3x4⋅log1x2+ log3x2− log1x4+ 2 --------3(-----)3------3------≤0. log13 x2 + 64

Источники: Физтех-2015, 11.1 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вы тоже заметили, что повторяется х в четной степени, а также тройка фигурирует в основании? Значит, можете сделать интересную замену t = log_3(x²). Перед этим нужно будет предварительно вынести четные степени из аргументов всех логарифмов.

Подсказка 2

Полученное неравенство решается методом интервалов, после чего мы находим значения для x². А потом вспомним, что если x² = a (какому-то неотрицательному), то х может принимать значения а и -а.

Показать ответ и решение

Пусть $log x2 = t, 3$ тогда по свойствам логарифмов неравенство примет вид

2t⋅(−t)+t+-2t+2- −t3+ 64 ≤ 0

(t− 2)(2t+ 1) (t−-4)(t2+-4t+-16) ≤0

Откуда по методу интервалов

t∈ (−∞; − 1]∪ [2;4) 2

При обратной замене получаем

2 −1∕2 2 4 x ∈ (0;3 ]∪[3;3)

откуда

x ∈(−9;−3]∪ [− 3− 1∕4;0)∪ (0;3−1∕4]∪[3;9)

Ответ:

$(−9;−3]∪[− √1;0)∪(0; 1√-]∪[3;9) 43 43$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#31428Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

log 7 log√-49 3+ 2⋅4 x − 2 x ≥ 0.

Источники: ПВГ 2013

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим логарифм - находим ОДЗ (Цитаты великих мыслителей). И после этого нам хочется обработать логарифм с аргументом 49, ведь это 7 в квадрате. Не забудем и про основание этого логарифма, ведь оно... в какой степени?

Подсказка 2

Правильно, в степени 1/2, значит, из основания вынесется еще одна двойка. Теперь нам нужно привести основание степени, которая с минусом, к четверке от двойки. А в показателе степени эта двойка есть.

Подсказка 3

Ну да, все свелось к замене t = 4^(log_x(7)). Вы решили неравенство и нашли возможные t, помня, что они должны быть положительными. Теперь нужно найти х. Приходим к тому, что log с основанием х должен быть меньше другого логарифма. Не нравится логарифм в основании - переверните его! А теперь решаем неравенство относительно p = log_7(x). Отсюда и найдутся нужные х.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x> 0$ и $x⁄= 1$ .

- log√x49= 2logx49= 4logx7.

Значит,

log 7 log√-49 2log 7 4log 7 3+ 2⋅4 x − 2 x = 3+ 2⋅2 x − 2 x ≥ 0.

Пусть $t=22logx7$ . Тогда

3+2t− t2 =− (t− 3)(t+1)≥ 0.

Отсюда $t∈[−1,3]$ . $t= 22logx7 >0$ , поэтому нам подходят $x >0$ такие, что $2logx7 ≤log23$ , то есть

log 7 ≤log3. x 4

Если $0< x< 1$ , то левая часть отрицательная, а правая положительная и такие $x$ подходят.

Если $x> 1$ , то обе части неравенства

log37≤ log43 log3x

можно домножить на положительное $log3x$ . Тогда $log37≤ log43log3x= log4x$ . Отсюда $x≥ 4log37$ .

Ответ:

$(0;1)∪ [4log37;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#48740Максимум баллов за задание: 7

Выясните, какое из чисел больше

log20122013 или log20132014.

Источники: ПВГ-2013, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На первый взгляд вообще не понятно, какое из чисел больше… Давайте поставим какой-то знак неравенства и будем его доказывать. Или потом поменяем, если получим неравенство в другую сторону

Подсказка 2

Всё равно не понятно, как доказывать такое неравенство... Так, а если перекинуть один из логарифмов в другую сторону? Нужно доказать, что произведение логарифмов с основанием 2013 меньше 1!

Подсказка 3

Воспользуемся для этого неравенством о средних! А именно, что среднее геометрическое не больше среднего арифметического. Дальше сумма логарифмов легко преобразуется по свойствам

Показать ответ и решение

По сути нам достаточно доказать такое неравенство

logk−1 k> logk(k+ 1)

при $k= 2013$ . Из-за того, что $k> 2$ , обе части неравенства положительны, так что по свойствам логарифмов оно эквивалентно:

logk(k+ 1)⋅logk(k− 1)< 1

Для положительных чисел можем воспользоваться неравенством о средних:

∘ ----------------- logk(k+1)+-logk(k-− 1) logk(k2−-1) logkk2 logk(k +1)⋅logk(k − 1)≤ 2 = 2 < 2 = 1

Итак, мы показали, что неравенство верно, первое число из условия больше.

Ответ:

$log 2013 2012$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#77697Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( 2 ) ( 2) 2 log5 5x + 2x ⋅log5 5+ x > log55x

Источники: Ломоносов - 2011, 11 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Аргументы логарифмов очень похожи между собой. Быть может, есть смысл преобразовать выражение так, чтобы из всего разнообразия аргументов у нас осталось только 2 различных?

Подсказка 2

Преобразуйте неравенство так, чтобы из логарифмов остались лишь те, что с аргументами 5 + 2/x и x^2.

Подсказка 3

Выходит, что у нас произведение скобок больше 0...разберем случаи! Одна из скобок выглядит проще, поэтому разберем случаи ее знаков)

Подсказка 4

Разберите случаи x < -2/5 и x > 0. Обратите внимание, что ОДЗ помогает отсечь некоторые промежутки!

Показать ответ и решение

ОДЗ :

(| 5+ 2 >0, { 5x2x+ 2x> 0, |( 2 5x > 0.

Сделаем преобразования:

( 2) 2 2 log5 5+ x ⋅log5(5x + 2x)>log55x

( 2) ( ( 2) ) log5 5+ x ⋅ log5 5+ x +log5x2 > 1+log5x2

( ( ) ) ( ( ) ) log5 5+ 2 − 1 ⋅ log5 5+ 2 + log5x2+ 1 > 0 x x

Используя ограничение из ОДЗ, $5+ 2 >0 ⇔ x∈ (− ∞;− 2) ∪(0;+∞ ), x 5$ имеем два случая:

1) При $x< − 2(⇒ log (5+ 2)< 1) : 5 5 x$

( ) log5(5x2+ 2x)< −1←на−−О−Д−→З 25x2+ 10x − 1 <0 ⇔ x∈ x−;− 2 , 5

где $x± = −1±√2, 5$ причем $x− < − 2< x+. 5$

2) При $( 2 ) x> 0 ⇒ log5(5+ x >1 :$

2 наОД З 2 log5(5x + 2x) >− 1←−−−−→ 25x + 10x− 1> 0⇔ x ∈(x+;+∞ )

Объединяя промежутки, получаем: $x ∈( −1−√2-;− 2)∪( −1+√2-;+ ∞). 5 5 5$

Ответ:

$(−1− √2 2) (− 1+√2- ) ---5--;− 5 ∪ ---5---;+ ∞$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#63472Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

√- √ -(log3)4−x2 √- √- −(log 2)2x−1 ( 3 − 2) 2 ≤ ( 3+ 2) 3

Источники: Ломоносов-2010, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что интересного можно заметить про основания наших выражений? По свойствам степеней в правой части возведём (√2 + √3) сначала в -1 степень, а потом уже во всё что остаётся.

Подсказка 2

Если верно преобразовать основание в правой части, то перед нами теперь сравнение показательных функций с одинаковыми основаниями. А как мы обычно работаем с такими неравенствами?

Подсказка 3

Как наши основания сравниваются с единичкой: больше они или меньше? В связи с этим, сохраняется ли знак сравнения для показателей степени.

Подсказка 4

Заметим, что новые основания степеней взаимно обратны по свойствам логарифма. А значит мы можем провернуть тот же фокус, что делали с исходным неравенством: в левой части вынесем из показателя степени минус и возведём log₂3 сначала в -1 степень.

Подсказка 5

Снова оценим основания и перейдём к сравнению показателей. Осталось решить обычное квадратное неравенство и задачка убита!

Показать ответ и решение

По формуле разности квадратов $(√3− √2)(√3-+√2-)=3 − 2= 1$ . Поэтому неравенство эквивалентно

√- √- (log 3)4−x2 √ - √ -(log2)2x−1 ( 3− 2) 2 ≤ ( 3− 2) 3

Так как основание степени слева и справа одинаковое и меньше единицы (ведь $(√3− √2)2 = 5− 2√6-< 5− 2√4-=1),$ то неравенство равносильно

4−x2 2x−1 (log23) ≥ (log32)

Остаётся провернуть тот же фокус, используя $log32⋅log23 =1$ . Получим

(log 2)x2−4 ≥ (log 2)2x−1 ⇐⇒ 3 3

Так как $log3 2<log33= 1$

x2 − 4≤ 2x− 1⇐⇒ x2− 2x− 3≤ 0

(x− 3)(x+ 1)≤ 0

В итоге по методу интервалов $x∈[−1,3].$

Ответ:

$[−1;3]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#80054Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

√ ---- log|x|( x+5 +4)≥ 2logx2(2x+ 8)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

С чего стоит начать решение данного неравенства? Что нам мешает?

Подсказка 2

Приведите логарифмы к одному основанию.

Подсказка 3

Примените метод рационализации.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x∈ (− 4,− 1)∪(−1,0)∪(0,1)∪ (1,+∞ ).$ Преобразуем к виду

√---- log|x|( x+ 5+ 4) ≥log|x|(2x +8)

При $|x|> 1$ имеем $√x+-5+ 4≥2x +8,$ т. e. $√x-+-5≥ 2x +4.$ Следовательно, либо $x< −2,$ либо $x ≥−2$ и $x +5≥ (2x+4)2.$ Тогда при $x ≥− 2$ получаем $2 4x +15x+ 11≤0,$ т. е. $[ 11- ] x∈ − 4 ,− 1 .$ Следовательно, $x≤ −1,$ а учитывая ОДЗ получаем $x ∈(−4,− 1)$ — решения. При $|x|< 1$ имеем $√---- x+ 5+ 4≤2x +8,$ т. е. $x ≥− 1.$ Учитывая ОДЗ получаем $x∈ (−1,0)∪(0,1)$ — решения.