Тема . Функции

Функциональные уравнения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела функции

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#120616

Найдите все многочлены $P (x)$ с действительными коэффициентами, удовлетворяющие условию

2 2 P (x )− P(x)= P((1− x) )− P (1− x)

Показать ответ и решение

Если $P (x)≡ const,$ то условие выполняется. Если $P(x)=ax +b,$ где $a⁄= 0.$ Тогда

2 2 ax +b− ax− b= a(1− x)+ b− a(1− x)− b

что равносильно $0 =0,$ поэтому любой линейный многочлен $P(x)≡ ax +b$ подходит.

Пусть $P(x)= anxn+ ...+ a0,$ где $n ≥2.$ Тогда

2 2n 2(n−1) n P (x )− P(x) =anx + an−1x + ...+ a0 − anx − ...− a0

P((1− x)2)− P (1− x)= a(1− x)2n− 2na x2n−1+ ... n n

Поскольку коэффициенты мономов в левой и правой части уравнения должны быть равны, то $2n− 1> n$ и, поскольку $an ⁄=0,$ равенство невозможно — противоречие.

Ответ:

$P (x)= ax+ b,$ где $a,b∈ℝ$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse