Функциональные уравнения
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все многочлены 
с действительными коэффициентами, удовлетворяющие условию
Подсказка 1.
Для начала давайте поймём, для многочленов какой степени уравнение точно выполняется.
Подсказка 2.
Верно! Для многочленов степени меньше двух оно верно. Теперь рассмотрим случай, когда степень хотя бы 2. Пусть многочлен имеет вид P(x) = aₙ·xⁿ + … + a₁·x + a₀, где n > 1. Попробуйте сравнить коэффициенты при x в какой-нибудь степени в обеих частях уравнения — они должны совпадать. Это может дать полезное условие.
Подсказка 3.
Рассмотрим коэффициенты при x²ⁿ⁻¹. Очевидно, что в левой части он равен 0. А чему он равен в правой части?
Если 
то условие выполняется. Если 
где 
Тогда
что равносильно 
поэтому любой линейный многочлен 
подходит.
Пусть 
где 
Тогда
Поскольку коэффициенты мономов в левой и правой части уравнения должны быть равны, то 
и, поскольку 
равенство невозможно — противоречие.
где 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
