Функциональные уравнения

Подставим в данное равенство

Из условия следует, что это равенство выполнено при любых В частности, при Значит,

Тогда получаем, что должно быть верно

То есть при всех

Далее, подставляя в исходное равенство получим

Подставляя теперь приходим к

Наконец, подстановка позволяет найти оставшееся значение

Таким образом, для любых действительных

При (подставим в аргумент функции ):

Заметим, что так как .

Следовательно, при :

Преобразуем аргумент в правой части, получим:

Подставим полученное выражение для в условие задачи. Получим, что при :

Проверим, когда выражение принимает нулевое значение. Это происходит только при то есть . Этот трёхчлен не имеет вещественных корней, поскольку его старший член положительный, а дискриминант отрицательный. Разделим обе части на это выражение:

Заметим, что получившаяся функция при удовлетворяет условию, поскольку . Следовательно, это и есть ответ.

Сначала докажем, что при любых Согласно свойству для и существует такое что тогда с помощью свойства получаем

Далее, пусть — произвольный элемент согласно свойству существует такое что Для этого и произвольного имеем где таково, что (см. свойство Тогда, используя доказанное выше, свойство и равенство получаем

что и требовалось доказать.

Подставим и в равенство. Получим систему

Решив которую, получаем

Если при каком-то выполняется то для любого верно поэтому для любого выполняется

Если же для любого значения , то для любого должно быть выполнено

где после сокращения на получаем

а) Предположим, что такая функция существует. Тогда подстановкой и в условие задачи

получаем противоречие

б) Если существует, то снова возникает противоречие при с неоднозначностью Этот пункт проверяет лишь понимание, что положительный должен быть для , а не для условия на

Условие равносильно выполнению равенства

Поскольку , и значения выражений и разной чётности, второе из них положительно и больше первого, то остаётся рассмотреть только четыре варианта:

Соответствующие пары значений ( ) таковы: .

Сделаем замену переменных Функциональное уравнение примет вид

Разделим обе части уравнения на после чего расскроем скобки в правой части. Таким образом,

следовательно,

Зафиксируем значение Тогда для любого значения

для некоторого действительного Таким образом,

Наконец, покажем, что для всех действительных данная функция удовлетворяет исходному уравнению

Подставив в изначальное уравнение имеем

то есть Кроме этого,

Подставим, Таким образом, для любого действительного верно

следовательно, — единственное возможное решение. Несложно проверить, что данная функция удовлетворяет уравнению.

Покажем, что функция инъективная. Действительно, пусть это не так и существуют различные натуральные числа такие, что но тогда

что влечет противоречие. Таким образом, для любых натуральных верно, что

то есть, в силу инъективности,

следовательно — арифметическая прогрессия.

Положим, для некоторых натурального и целого Тогда для всех натуральных чисел верно, что то есть Тогда для любых натуральных чисел

но по условию это значение равно Таким образом,

следовательно, Таким образом, — единственная функция, удовлетворяющая условию задачи.

Рассмотрим и тогда для всех действительных Таким образом, — биективная функция.

В частности, существует действительное такое, что Тогда,

следовательно, для всех действительных но тогда

Так же, в силу биективности, существует действительное такое, что Тогда,

следовательно, для всех действительных

Таким образом, функциональное уравнение примет вид

то есть

Подставим получим

При уравнение имеет вид

аналогично, Приравнивая полученные уравнения, имеем

то есть Наконец, из

следует

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получим

В силу произвольности

для некоторого действительного

Таким образом, все возможные решения имеют вид При этом несложно убедиться, что любая функция данного вида удовлетворяет условию задачи.

При уравнение имеет вид

следовательно, сюръективна.

Предположим, что существуют различные действительные числа такие, что Тогда

Поскольку сюръективна, для всех действительных Тогда, для любого действительного верно

Тем самым мы показали, что так же инъективна.

Наконец, при мы имеем следовательно, Несложно убедиться, что любой унитарный многочлен является решением.

Сначала, выбрав а затем, меняя несложно убедиться, что функция является сюръективной. Более того, если для некоторых то, подставив вместо сначала потом а вместо любое ненулевое число, получаем противоречие. Значит, наша функция также является инъективной. Пусть Подставив , получаем . Далее подставляем , . Получаем

откуда Из инъективности заключаем, что откуда возможны три случая Наша цель показать, что первые два случая невозможны.

Предположим, что Тогда подставим Получим С другой стороны можно подставить Тогда Заменив на получаем

откуда для любого что противоречит инъективности.

Пусть Подставим Получаем

откуда из инъективности получаем С другой стороны, подставив в исходное условие получаем Тогда, подставив, в предыдущее равенство, получаем откуда что опять противоречит инъективности.

Значит, Подставим Получаем

Если вместо подставить то получим Далее подставляем находим Затем получаем Аналогичными подстановками можно получить, что для любого натурального Теперь в исходное условие подставляем Получаем То есть для любого мы знаем, что и Вычитая равенства друг из друга, получаем Из сюръективности можно заменить откуда получаем для любого вещественного В частности для находим откуда

Теперь подставим в исходное условие Получаем

То есть мы нашли такую точку что Покажем, что из этого следует, что Вспоминая, что и находим Подставим в исходное условие Получаем

откуда Из инъективности сразу получаем, что откуда для любого вещественного То есть единственный возможный ответ Неподсредственной подставнокой легко убедиться, что он подходит.

При подстановке имеем следовательно,

При подстановке и имеем Следовательно, является четной функцией.

Теперь положим и тем самым получим

Следовательно,

Если для некоторого то при подстановке и уравнение имеет вид Таким образом, — периодичная функция с периодом т.е.

В частности, если то постоянна, то есть для всех Эта функция явно удовлетворяет функциональному уравнению. Положим

По имеем или . Если то периодична с периодом поэтому и для всех Эта функция является решением для каждого Проверку осуществим позже; в дальнейшем предположим, что

Опять же по имеем или В первом случае периодична с периодом и поэтому мы имеем и для всех Эта функция тоже является решением, что мы покажем позже. В дальнейшем рассуждении мы предполагаем, что Покажем теперь, что Для этого выполним замену

Следовательно, Теперь докажем, что по индукции, что единственное возможное решение —– это Мы уже доказали это для Предположим, что и что справедливо для всех целых Тогда замена и приводит соответственно к

Поскольку для единственное возможное решение —

На этом индукция завершается, поэтому для всех То же выражение справедливо и для отрицательных значений поскольку четна. Для доказательства проверки нужно доказать тождество

которое следует непосредственно путем раскрытия скобок.

Поэтому единственными возможными решениями функционального уравнения являются постоянная функция и следующие функции:

для любого ненулевого целого Проверка того, что это действительно решения, была выполнена для первых двух. Для обратите внимание, что если то все четные, и в этом случае или одно из этих значений, а два других нечетные, поэтому обе части уравнения равны Для мы используем аналогичные соображения четности и симметрию уравнения, что сводит проверку к тройкам Все они удовлетворяют уравнению.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. Мы несколько раз использовали один и тот же факт: для любых функциональное уравнение является квадратным уравнением относительно коэффициенты которого зависят от и

Его дискриминант равен Поскольку это значение должно быть неотрицательным для любых мы заключаем, что либо либо всегда неотрицательны. Также, если — решение функционального уравнения, то — тоже решение. Поэтому мы можем считать для всех Теперь два решения квадратного уравнения равны

Вычисление из и которое мы сделали выше, следует сразу после установки и Индуктивный шаг, где выводится из и следует сразу с использованием и

Подставим вместо в исходное уравнение получим

Получаем систему

Домножим первое уравнение 2 и вычтем из него второе, получим

Проверим данную функцию

Пусть тогда

Проверим данную функция

Пусть тогда

Теперь пусть используя полученный факт, получаем

Покажем, что для любого можно подобрать такое чтобы для некоторого

Домножив второе уравнение на 2 и сложив, получаем

Проверяем, что полученное подходит. Подставив такое исходное условие примет вид

Т.к. любое положительное число представимо как четвёртая степень некоторого положительного числа, то для любого положительного верно, что А в силу равенства это верно и для отрицательных чисел.

При любом вещественном после замены получается равенство

Только такая функция и является решением задачи.

Подставим вместо в исходное уравнение получим

Учитывая исходное уравнение, получаем систему

Домножим второе уравнение на 2 и вычтем первое уравнение из второго

Проверим, что данная функция является решением системы, а не только следствия из неё: