Функциональные уравнения

(a) Подставим и получим Таким образом, либо при любом и такая функция является решением уравнения, либо Пусть Подставим и получим Это равенство позволяет нам решить задачу лишь для положительных рациональных чисел. Рассмотрим положительную несократимую дробь Последовательно применяя условие убеждаемся, что откуда Аналогично Теперь мы готовы посчитать значение функции в точке Из равенства следует, что Таким образом,

Заметим, что — неотрицательно, иначе при чётном равенство будет неверным, что противоречит условию.

(b) Из условия следует непрерывность в точке Нам из предыдущего пункта известно, что при всех рациональных Рассмотри иррациональное число и последовательность рациональных чисел предел которой равен Для всех таких справедливо равенство Воспользуемся предельным переходом при в равенстве В силу непрерывности функции в нуле или имеем или