Функциональные уравнения

Сначала заметим, что наша функция сюръективна. Действительно, зафиксировав и двигая можно добиться любого значения функции в точке Также, очевидно, что функция инъективна, поскольку, если то получаем, что

что не так. Из доказанного ранее мы понимаем, что существует такая точка что Подставив получаем, что Но наша функция инъективна, поэтому должно быть постоянно, тогда

Подставив получаем, что Подставив получаем, что Тогда

Поскольку функция сюръективна, можно сказать, что С другой стороны. мы знаем, что То есть у нас значение функции в неотрицательных точках неотрицательно. А это условие может заменить непрерывность функции, откуда получаем, что То есть откуда то есть единственным решение является Несложно проверить. что оно подходит.