Функциональные уравнения

Докажем, что функция сюръективна. Зафиксируем и будем подставлять вместо произвольные вещественные числа, тогда в точке будет приниматься значение Теперь покажем, что функция инъективна. Пусть существуют такие числа что Подставим в уравнение сначала а потом —

Левые части полученных равенств равны, а правые — нет, пришли к противоречию.

В силу сюръективности существует такое что подставим его в уравнение и получим откуда

Подставим теперь в исходное уравнение и получим Таким образом, В силу инъективности откуда

Подставим в уравнение: Возьмём функцию от левой и правой частей, а затем к левой части применим равенство и получим, что

Пусть тогда Перепишем равенство через Но также откуда Таким образом, в каждой точке либо либо Пусть нашлись такие и что а Тогда подставим их в исходное уравнение и получим, что Получили противоречие, так как в точке функция должна принимать одно из значений или Отсюда следует, что либо во всех точках функция принимает такое же значение, либо же меняет знак. После проверки убеждаемся, что обе функции подходят.