Функциональные уравнения
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все функции 
такие, что
Подсказка 1
Попробуйте понять ответ, обычно с ним намного проще решать. Для начала поймите, что функция инъективна.
Подсказка 2
Переменных слишком много, удобно одну выразить линейно через другую. Тогда можно, например, подставить тройки (a,a,c) и (a-1,a+1,c). Какой из этого можно сделать вывод?
Подсказка 3
Нетрудно получить 2f(a)=f(a-1)+f(a+1). Поймите из этого, что f арифметическая прогрессия. Какой она может быть?
Покажем, что функция инъективная. Действительно, пусть это не так и существуют различные натуральные числа 
такие, что
но тогда
что влечет противоречие. Таким образом, для любых натуральных 
верно, что
то есть, в силу инъективности,
следовательно 
— арифметическая прогрессия.
Положим, 
для некоторых натурального 
и целого 
Тогда для всех натуральных чисел 
верно, что
то есть 
Тогда для любых натуральных чисел 
но по условию это значение равно 
Таким образом,
следовательно, 
Таким образом, 
— единственная функция, удовлетворяющая условию задачи.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
