Тема . Функции

Функциональные уравнения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела функции

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#90325

Найдите все функции $f :ℝ → ℝ$ такие, что

2 2 f(x − y)= (x− y)(f(x)+ f(y))

Показать ответ и решение

Подставим $x= 0,y =0,$ получим $f(0)=0.$

При $y = 0,$ уравнение имеет вид

2 f(x )=xf(x)

аналогично, $f(x2)= −xf(−x).$ Приравнивая полученные уравнения, имеем

xf(x)=− xf(−x)

то есть $f(x)= −f(− x).$ Наконец, из

{ f(x2− y2)= (x− y)(f(x)+f(y)) f(x2− (−y)2)= (x− (−y))(f(x)+f(−y))

следует

(x− y)(f(x)+ f(y))= (x+ y)(f(x)− f(y))

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получим

2xf(y)= 2yf(x)

В силу произвольности $x,y$

f(xx)= f(yy)= C

для некоторого действительного $C.$

Таким образом, все возможные решения имеют вид $f(x)= Cx.$ При этом несложно убедиться, что любая функция данного вида удовлетворяет условию задачи.

Ответ:

$f(x)= Cx$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse