Функциональные уравнения

Сначала, выбрав а затем, меняя несложно убедиться, что функция является сюръективной. Более того, если для некоторых то, подставив вместо сначала потом а вместо любое ненулевое число, получаем противоречие. Значит, наша функция также является инъективной. Пусть Подставив , получаем . Далее подставляем , . Получаем

откуда Из инъективности заключаем, что откуда возможны три случая Наша цель показать, что первые два случая невозможны.

Предположим, что Тогда подставим Получим С другой стороны можно подставить Тогда Заменив на получаем

откуда для любого что противоречит инъективности.

Пусть Подставим Получаем

откуда из инъективности получаем С другой стороны, подставив в исходное условие получаем Тогда, подставив, в предыдущее равенство, получаем откуда что опять противоречит инъективности.

Значит, Подставим Получаем

Если вместо подставить то получим Далее подставляем находим Затем получаем Аналогичными подстановками можно получить, что для любого натурального Теперь в исходное условие подставляем Получаем То есть для любого мы знаем, что и Вычитая равенства друг из друга, получаем Из сюръективности можно заменить откуда получаем для любого вещественного В частности для находим откуда

Теперь подставим в исходное условие Получаем

То есть мы нашли такую точку что Покажем, что из этого следует, что Вспоминая, что и находим Подставим в исходное условие Получаем

откуда Из инъективности сразу получаем, что откуда для любого вещественного То есть единственный возможный ответ Неподсредственной подставнокой легко убедиться, что он подходит.