Функциональные уравнения

При подстановке имеем следовательно,

При подстановке и имеем Следовательно, является четной функцией.

Теперь положим и тем самым получим

Следовательно,

Если для некоторого то при подстановке и уравнение имеет вид Таким образом, — периодичная функция с периодом т.е.

В частности, если то постоянна, то есть для всех Эта функция явно удовлетворяет функциональному уравнению. Положим

По имеем или . Если то периодична с периодом поэтому и для всех Эта функция является решением для каждого Проверку осуществим позже; в дальнейшем предположим, что

Опять же по имеем или В первом случае периодична с периодом и поэтому мы имеем и для всех Эта функция тоже является решением, что мы покажем позже. В дальнейшем рассуждении мы предполагаем, что Покажем теперь, что Для этого выполним замену

Следовательно, Теперь докажем, что по индукции, что единственное возможное решение —– это Мы уже доказали это для Предположим, что и что справедливо для всех целых Тогда замена и приводит соответственно к

Поскольку для единственное возможное решение —

На этом индукция завершается, поэтому для всех То же выражение справедливо и для отрицательных значений поскольку четна. Для доказательства проверки нужно доказать тождество

которое следует непосредственно путем раскрытия скобок.

Поэтому единственными возможными решениями функционального уравнения являются постоянная функция и следующие функции:

для любого ненулевого целого Проверка того, что это действительно решения, была выполнена для первых двух. Для обратите внимание, что если то все четные, и в этом случае или одно из этих значений, а два других нечетные, поэтому обе части уравнения равны Для мы используем аналогичные соображения четности и симметрию уравнения, что сводит проверку к тройкам Все они удовлетворяют уравнению.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. Мы несколько раз использовали один и тот же факт: для любых функциональное уравнение является квадратным уравнением относительно коэффициенты которого зависят от и

Его дискриминант равен Поскольку это значение должно быть неотрицательным для любых мы заключаем, что либо либо всегда неотрицательны. Также, если — решение функционального уравнения, то — тоже решение. Поэтому мы можем считать для всех Теперь два решения квадратного уравнения равны

Вычисление из и которое мы сделали выше, следует сразу после установки и Индуктивный шаг, где выводится из и следует сразу с использованием и