Функциональные уравнения
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все функции 
, которые при любых вещественных 
и 
удовлетворяют условию
Подсказка 1
Мы видим, что есть функция от x+y и от y. Но подстановка y:=x+y делает уравнение ещё более некрасивым. Тогда на помощь приходит ещё один вариант «типичных» или «базовых» подстановок — подстановка 0. Что, если сделать х:=0 или у:=0?
Подсказка 2
При x:=0 получаем f(f(y))=f(y), а при y:=0 — f(f(х))=х+f(0), тогда, если найти f(0), то задача решена(почему?).
Снова тупик, но у нас есть ещё одна «типичная» подстановка — х:=f(t) или y:=f(t). Как её можно использовать для двух полученных уравнений?
Подсказка 3
Использовав подстановку y:=f(t) и х:=f(t) в двух найденных ранее равенствах, получаем одинаковые левые части уравнения, значит, можно приравнять правые части, но про f(f(t)) мы уже что-то знаем!
Пусть 
тогда получаем
Докажем, что 
Для этого вместо 
и 
подставим 
и 
тогда с одной стороны это равно
С другой стороны,
Приравняв их, получаем 
Теперь пусть 
Но до этого мы получили, что 
значит,
Проверим, что эта функция подходит под начальное условие
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
