Функциональные уравнения

Первое решение. Сначала докажем, что функция удовлетворяет условию задачи. По неравенству Коши

для любых причем равенство достигается тогда и только тогда, когда Таким образом, что для каждого числа существует ровно одно значение такое, что

Пусть —– функция, удовлетворяющая условию задачи. Будем говорить, что пара положительных действительных чисел является хорошей, если Заметим, что если пара является хорошей, то и пара тоже.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Лемма 1. Если пара является хорошей, то

Доказательство. Предположим, что существуют положительные действительные числа такие, что пара хорошая. Таким образом, не является хорошей парой, то есть

следовательно, Аналогично, Применяя неравенство между средним арифметическим и геометрическим, имеем

что влечет противоречие.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Вернемся к решению исходной задачи. По условию, для любого существует хорошая пара, содержащая однако из доказанной леммы следует, что единственная хорошая пара, которая может содержать — это поэтому

для каждого В частности, при для произвольного положительного имеем

Таким образом,

Докажем, что является хорошей парой для любого положительного Действительно,

Наконец, из доказанной леммы следует, что следовательно, для любого

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Как и в первом решении, отметим, что — решение. Покажем, что оно единственное. Пусть — единственное положительное действительное число такое, что — хорошая пара. Сформулируем и докажем лемму.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Лемма 2. Функция убывает.

Доказательство. Рассмотрим действительные числа Имеем

Кроме этого, поскольку — единственное положительное действительное число такое, что — хорошая пара и мы имеем

Объединив полученные неравенства, имеем

или

Из того, что числа и положительны, а отрицательно, следует, что что доказывает лемму

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Теперь докажем лемму используя лемму Предположим, что но

Как и в первом решении, имеем и откуда следует, что Таким образом,

что влечет но это противоречит тому, что убывает. Итак, мы показали, что — единственный такой что — хорошая пара, и, в частности,

Теперь мы можем завершить доказательство, аналогично первому решению.