Функциональные уравнения
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все многочлены 
с вещественными коэффициентами такие, что
Подсказка 1
Одной из часто рассматриваемых характеристик многочлена является его степень. Какой вывод можно сделать из этих рассуждений?
Подсказка 2
Пусть степень многочлена P(x) равна n. Чему равна степень многочлена в левой и правой частях уравнения?
Подсказка 3
Соответственно 2n и n+3. Какой вывод о степени P(x) из этого можно сделать?
Подсказка 4
Она равна 3. Так, P(x) — кубический многочлен. Часто при решении задач на многочлены с небольшими степенями оказывается полезно записать их в стандартной виде. В данной задаче многочлен имеет вид ax³+bx²+cx+d для некоторых действительных a, b, c, d. Подставьте многочлен в исходное уравнение. Что мы получим после приведения подобных слагаемых?
Подсказка 5
Тождественное равенство двух многочленов влечет равенство коэффициентов при равных степенях. Чему равно b из таких рассуждений? A с? Сумма a+d?
Подсказка 6
Каждое из чисел равно 0. Таким образом, исходное уравнение имеет вид ax³ -a для некоторого действительного a.
Пусть 
причём рассмотрим неотрицательное 
. Тогда степень многочлена в левой части равна 
в правой — 
откуда
Таким образом, 
— кубический многочлен. Пусть он имеет вид
Тогда уравнение примет вид
следовательно, 
но тогда так же 
наконец, 
Таким образом, любой многочлен вида 
является решением
исходного уравнение. Единственное, что мы могли не учесть — это 
Он тоже подходит, поэтому можем взять 
которое
принимает любое вещественное значение.
где 
вещественное
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
