Функциональные уравнения
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все многочлены 
с вещественными коэффициентами такие, что
Подсказка 1
Одной из часто рассматриваемых характеристик многочлена является множество его корней. Какие корни имеет исходный многочлен, исходя из уравнения?
Подсказка 2
Корни 2 и 16. Если у исходного многочлена P(x) уже нашлись некоторые корни {x₁, x₂, ...},то его бывает полезно представить в виде P(x)=(x-x₁)(x-x₂)...G(x), тогда G(x) тоже является многочленом. Как это помогает в нашей задаче?
Подсказка 3
После замены легко получить, что G(x) имеет так же корни 2 и 8. А что бывает полезно сделать, когда у многочлена нашлись какие-то корни?
Подсказка 4
Представить его в виде G(x)=(x-2)(x-8)H(x) для некоторого многочлена H(x). Какой вид теперь примет уравнение?
Подсказка 5
Имеем H(2x)=H(x) для всех x. Когда такое бывает?
Подсказка 6
Докажите, что верно лишь тогда, когда H(x) является постоянным многочленом. Сделайте обратную замену и завершите решение.
Подставив в уравнение 
и 
имеем, что 
Следовательно, 
для некоторого
многочлена 
Таким образом, уравнение можно переписать в виде
следовательно,
то есть 
— так же являются корнями исходного многочлена.
Таким образом, 
Вновь подставляя полученный многочлен в уравнение, имеем
то есть 
Отсюда следует, что 
является константой (в противном случае нетождественно нулевой многочлен 
будет иметь
бесконечное число корней.)
Таким образом
для некоторой постоянной 
для некоторой постоянной 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
