Функциональные уравнения
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все многочлены 
с вещественными коэффициентами такие, что
Подсказка 1
Для данного многочлена P(x) полезно сделать замену P(x)=Q(x)+H(x), где H(x) --- некоторый данный нами многочлен (например, P(x)=Q(x)-x³+1). Например, если мы предполагаем, что существует единственное решение уравнения -x³+1, то нам будет достаточно, показать, что Q(x) тождественно равен 0 - это, как правило, упрощает задачу. Какую замену можно сделать в данной задаче?
Подсказка 2
Несложно видеть, что многочлен x^2 является решением исходного уравнения. Но тогда, как мы выяснили ранее, естественно будет сделать замену P(x)=Q(x)+x^2. Что мы получим после его подстановки в исходное уравнение?
Подсказка 3
Уравнение Q(x+1)=Q(x). Докажите, что это возможно лишь в тех случаях, когда Q(x) --- постоянный.
Пусть 
Тогда 
Подставляя обозначенную замену в уравнение, получим
следовательно, 
Таким образом, 
— постоянный многочлен и равен некоторому действительному числу 
Таким образом, 
где 
действительная константа
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
